Какое двузначное число делится на 7, если к нему приписать это же число справа и полученное четырёхзначное число
Какое двузначное число делится на 7, если к нему приписать это же число справа и полученное четырёхзначное число делится на 13? Запишите решение и найденное число. Решение.
Zolotoy_List_9150 12
Давайте выпишем условие задачи еще раз и начнем решение шаг за шагом.Мы ищем двузначное число, которое при делении на 7 даст нам остаток 0. Такое число можно представить в виде \(7k\), где \(k\) - это некоторое целое число.
Теперь, когда мы приписываем это же число справа от исходного, мы получаем четырехзначное число. По условию, оно должно быть делиться на 13 без остатка.
Для того чтобы найти это число, мы можем использовать перебор.
Начнем с двузначного числа 10. Приписываем его справа и получаем число 1010. Если мы разделим это число на 13, мы видим, что оно не делится на 13 без остатка.
Попробуем следующее двузначное число, 20. Приписываем его справа и получаем число 2020. Если разделим его на 13, то в этом случае также получим остаток.
Мы можем продолжить перебирать двузначные числа, но вместо этого воспользуемся небольшой леммой.
Лемма: Если двузначное число \(7k\) делится на 7, то число \(7k10 + k\) также будет делиться на 7.
Доказательство: Разложим число \(7k10 + k\). Получим \(7k10 + k = 700k + 10k + k = 710k\). Поскольку число 710 делится на 7 без остатка, то и \(710k\) также будет делиться на 7 без остатка.
Разделим теперь подставленное число \(710k\) на 13.
Мы видим, что это число не делится на 13 без остатка для \(k = 1\).
Для \(k = 2\) также не делится без остатка.
Однако, для \(k = 3\), это число делится на 13 без остатка.
Таким образом, искомое число составляет \(7 \cdot 3 = 21\).
Ответ: Искомое двузначное число равно 21.
Мы провели достаточно подробное решение этой задачи, чтобы оно было понятно для школьника. Если у вас остались еще вопросы, пожалуйста, задайте их!