Какое фокусное расстояние имеет вогнутое зеркало, если изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза

  • 41
Какое фокусное расстояние имеет вогнутое зеркало, если изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза, а после отдаления предмета от зеркала на 80 см, его изображение становится в два раза меньше предмета?
Murzik
15
Для решения этой задачи мы можем использовать тонкую линзовую формулу 1f=1do+1di, где f - фокусное расстояние, do - расстояние от предмета до зеркала (зеркало считается положительным, если предмет находится справа от зеркала), и di - расстояние от изображения до зеркала (изображение считается положительным при левостороннем изображении).

Из условия задачи следует, что изображение предмета превышает его размеры в три раза, а после отдаления предмета от зеркала на 80 см, его изображение становится в два раза меньше предмета. Таким образом, мы можем сказать, что изначальное расстояние di от изображения до зеркала равно размеру предмета умноженному на 3, а после отдаления предмета на 80 см оно становится равным половине размера предмета.

Обозначим размер предмета как s. Тогда изначальное расстояние di равно 3s, а после отдаления предмета на 80 см оно становится s/2.

Теперь, чтобы найти фокусное расстояние f вогнутого зеркала, мы можем использовать тонкую линзовую формулу.

Изначально do неизвестно, поэтому мы должны выразить его через f и известные нам значения расстояний.

Сначала используем условие о двукратном уменьшении изображения:

1f=1do+1di

Подставим известные нам значения:

1f=1do+1s/2

Известно также, что изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза. Это означает, что:

di=3s

Тогда мы можем переписать выражение для фокусного расстояния так:

1f=1do+13s

Теперь, используя второе условие о снижении изображения в два раза после отдаления предмета на 80 см, мы можем снова применить тонкую линзовую формулу:

1f=1do80+1s/2

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих фокусное расстояние с расстояниями и размерами предмета. Задача сводится к решению этой системы уравнений.

Можно решить эту систему уравнений методом замены или методом коэффициентов. Я воспользуюсь методом коэффициентов. Раскроем скобки:

1f=1do+13s

1f=1do80+1s/2

Приведем дроби к общему знаменателю:

1f=22(do80)+22(3s)2(do80)

1f=s3sdo+4s(do80)2(do80)

Теперь соединим оба выражения в одно и приведем дробь к общему знаменателю:

1f=23sdo+4s(do80)2(do80)

Теперь у нас есть два выражения для 1f. Приравняем их:

1do+13s=23sdo+4s(do80)2(do80)

Сократим общий знаменатель:

2(do80)(1/do+1/3s)=2(do80)(23sdo+4s(do80))

Раскроем скобки:

2(do80)1do+2(do80)13s=2(do80)23sdo+2(do80)4s(do80)

Сократим общий множитель:

2(do80)1do+23s2(do80)=23sdo+4s(do80)2(do80)

Распишем правую часть:

23sdo+4s(do80)2(do80)=23sdo+42(do80)2s

Теперь уравнение имеет вид:

2(do80)1do+23s2(do80)=23sdo+42(do80)2s

Приведем подобные слагаемые:

2(do80)1do+4(do80)3s=23sdo+42(do80)2s

Теперь упростим уравнение, умножив все слагаемые на общий знаменатель do3s:

2(do80)3s+4(do80)do=2dodo+42(do80)2

Раскроем скобки:

6sdo480s+4do2320do=2do2+42(do80)2

Упростим уравнение:

6sdo480s+4do2320do=2do2+42(do2160do+802)

Раскроем скобки:

6sdo480s+4do2320do=2do2+42(do2160do+6400)

Распишем правую часть:

6sdo480s+4do2320do=2do2+42(do2160do+6400)

Упростим уравнение:

6sdo480s+4do2320do=2do2+42do242160do+426400

Упростим дальше:

6sdo480s+4do2320do=2do2+8do21280do+51200

Перенесем все слагаемые влево, получим:

6sdo4do2320do2do2+8do21280do+480s51200=0

Объединим слагаемые:

(6s2+8)do2+(3201280)do+(480s51200)=0

Упростим выражение:

12sdo21600do+480s51200=0

Теперь полученное квадратное уравнение позволяет найти значение do. Найдем его, используя дискриминант D:

D=b24ac

D=(1600)2412s(480s51200)

Раскроем скобки:

D=2560000412s480s+412s51200

D=2560000412480s2+412s51200

Упростим выражение:

D=2560000230400s+2457600s

D=2560000+2457600s230400s

D=5017600+1537200s

Теперь, найдя значение D, можно применить квадратный корень к D и использовать формулу:

do=b±D2a

Подставим известные значения:

do=(1600)±5017600+1537200s212s

do=1600±5017600+1537200s24s

Таким образом, фокусное расстояние вогнутого зеркала будет зависеть от значения s - размера предмета.

Пожалуйста, уточните значение s, чтобы я мог продолжить решение задачи.