Какое фокусное расстояние имеет вогнутое зеркало, если изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза

Murzik

15

Для решения этой задачи мы можем использовать тонкую линзовую формулу \( \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\), где \(f\) - фокусное расстояние, \(d_o\) - расстояние от предмета до зеркала (зеркало считается положительным, если предмет находится справа от зеркала), и \(d_i\) - расстояние от изображения до зеркала (изображение считается положительным при левостороннем изображении).

Из условия задачи следует, что изображение предмета превышает его размеры в три раза, а после отдаления предмета от зеркала на 80 см, его изображение становится в два раза меньше предмета. Таким образом, мы можем сказать, что изначальное расстояние \(d_i\) от изображения до зеркала равно размеру предмета умноженному на 3, а после отдаления предмета на 80 см оно становится равным половине размера предмета.

Обозначим размер предмета как \(s\). Тогда изначальное расстояние \(d_i\) равно \(3s\), а после отдаления предмета на 80 см оно становится \(s/2\).

Теперь, чтобы найти фокусное расстояние \(f\) вогнутого зеркала, мы можем использовать тонкую линзовую формулу.

Изначально \(d_o\) неизвестно, поэтому мы должны выразить его через \(f\) и известные нам значения расстояний.

Сначала используем условие о двукратном уменьшении изображения:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
\]

Подставим известные нам значения:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{s/2}
\]

Известно также, что изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза. Это означает, что:

\[
d_i = 3s
\]

Тогда мы можем переписать выражение для фокусного расстояния так:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{3s}
\]

Теперь, используя второе условие о снижении изображения в два раза после отдаления предмета на 80 см, мы можем снова применить тонкую линзовую формулу:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o - 80} + \frac{1}{s/2}
\]

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих фокусное расстояние с расстояниями и размерами предмета. Задача сводится к решению этой системы уравнений.

Можно решить эту систему уравнений методом замены или методом коэффициентов. Я воспользуюсь методом коэффициентов. Раскроем скобки:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{3s}
\]

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o - 80} + \frac{1}{s/2}
\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{f} = \frac{\frac{2}{2} \cdot (d_o - 80) + \frac{2}{2} \cdot (3s)}{2 \cdot (d_o - 80)}
\]

\[
\frac{1}{f} = \frac{\frac{s}{3s} \cdot d_o + \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80)}{2 \cdot (d_o - 80)}
\]

Теперь соединим оба выражения в одно и приведем дробь к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{f} = \frac{\frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80)}{2 \cdot (d_o - 80)}
\]

Теперь у нас есть два выражения для \(\frac{1}{f}\). Приравняем их:

\[
\frac{1}{d_o} + \frac{1}{3s} = \frac{\frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80)}{2 \cdot (d_o - 80)}
\]

Сократим общий знаменатель:

\[
2 \cdot (d_o - 80) \cdot (1/d_o + 1/3s) = 2 \cdot (d_o - 80) \cdot (\frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80))
\]

Раскроем скобки:

\[
2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{1}{d_o} + 2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{1}{3s} = 2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{2}{3s} \cdot d_o + 2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80)
\]

Сократим общий множитель:

\[
2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{1}{d_o} + \frac{2}{3s} \cdot 2 \cdot (d_o - 80) = \frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80) \cdot 2 \cdot (d_o - 80)
\]

Распишем правую часть:

\[
\frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4}{s} \cdot (d_o - 80) \cdot 2 \cdot (d_o - 80) = \frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4 \cdot 2 \cdot (d_o - 80)^2}{s}
\]

Теперь уравнение имеет вид:

\[
2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{1}{d_o} + \frac{2}{3s} \cdot 2 \cdot (d_o - 80) = \frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4 \cdot 2 \cdot (d_o - 80)^2}{s}
\]

Приведем подобные слагаемые:

\[
2 \cdot (d_o - 80) \cdot \frac{1}{d_o} + \frac{4 \cdot (d_o - 80)}{3s} = \frac{2}{3s} \cdot d_o + \frac{4 \cdot 2 \cdot (d_o - 80)^2}{s}
\]

Теперь упростим уравнение, умножив все слагаемые на общий знаменатель \(d_o \cdot 3s\):

\[
2 \cdot (d_o - 80) \cdot 3s + 4 \cdot (d_o - 80) \cdot d_o = 2 \cdot d_o \cdot d_o + 4 \cdot 2 \cdot (d_o - 80)^2
\]

Раскроем скобки:

\[
6s \cdot d_o - 480s + 4d_o^2 - 320d_o = 2d_o^2 + 4 \cdot 2 \cdot (d_o - 80)^2
\]

Упростим уравнение:

\[
6s \cdot d_o - 480s + 4d_o^2 - 320d_o = 2d_o^2 + 4 \cdot 2 \cdot (d_o^2 - 160 \cdot d_o + 80^2)
\]

Раскроем скобки:

\[
6s \cdot d_o - 480s + 4d_o^2 - 320d_o = 2d_o^2 + 4 \cdot 2 \cdot (d_o^2 - 160 \cdot d_o + 6400)
\]

Распишем правую часть:

\[
6s \cdot d_o - 480s + 4d_o^2 - 320d_o = 2d_o^2 + 4 \cdot 2 \cdot (d_o^2 - 160 \cdot d_o + 6400)
\]

Упростим уравнение:

\[
6s \cdot d_o - 480s + 4d_o^2 - 320d_o = 2d_o^2 + 4 \cdot 2 \cdot d_o^2 - 4 \cdot 2 \cdot 160 \cdot d_o + 4 \cdot 2 \cdot 6400
\]

Упростим дальше:

\[
6s \cdot d_o - 480s + 4d_o^2 - 320d_o = 2d_o^2 + 8d_o^2 - 1280d_o + 51200
\]

Перенесем все слагаемые влево, получим:

\[
6s \cdot d_o - 4d_o^2 - 320d_o - 2d_o^2 + 8d_o^2 - 1280d_o + 480s - 51200 = 0
\]

Объединим слагаемые:

\[
(6s - 2 + 8)d_o^2 + (-320 - 1280)d_o + (480s - 51200) = 0
\]

Упростим выражение:

\[
12s \cdot d_o^2 - 1600d_o + 480s - 51200 = 0
\]

Теперь полученное квадратное уравнение позволяет найти значение \(d_o\). Найдем его, используя дискриминант \(D\):

\[
D = b^2 - 4ac
\]

\[
D = (-1600)^2 - 4 \cdot 12s \cdot (480s - 51200)
\]

Раскроем скобки:

\[
D = 2560000 - 4 \cdot 12s \cdot 480s + 4 \cdot 12s \cdot 51200
\]

\[
D = 2560000 - 4 \cdot 12 \cdot 480 \cdot s^2 + 4 \cdot 12 \cdot s \cdot 51200
\]

Упростим выражение:

\[
D = 2560000 - 230400 \cdot s + 2457600 \cdot s
\]

\[
D = 2560000 + 2457600 \cdot s - 230400 \cdot s
\]

\[
D = 5017600 + 1537200 \cdot s
\]

Теперь, найдя значение \(D\), можно применить квадратный корень к \(D\) и использовать формулу:

\[
d_o = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставим известные значения:

\[
d_o = \frac{-(-1600) \pm \sqrt{5017600 + 1537200 \cdot s}}{2 \cdot 12s}
\]

\[
d_o = \frac{1600 \pm \sqrt{5017600 + 1537200 \cdot s}}{24s}
\]

Таким образом, фокусное расстояние вогнутого зеркала будет зависеть от значения \(s\) - размера предмета.

Пожалуйста, уточните значение \(s\), чтобы я мог продолжить решение задачи.