Какое фокусное расстояние имеет вогнутое зеркало, если изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза

Murzik

15

Для решения этой задачи мы можем использовать тонкую линзовую формулу $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$, где $f$ - фокусное расстояние, $d_o$ - расстояние от предмета до зеркала (зеркало считается положительным, если предмет находится справа от зеркала), и $d_i$ - расстояние от изображения до зеркала (изображение считается положительным при левостороннем изображении).

Из условия задачи следует, что изображение предмета превышает его размеры в три раза, а после отдаления предмета от зеркала на 80 см, его изображение становится в два раза меньше предмета. Таким образом, мы можем сказать, что изначальное расстояние $d_i$ от изображения до зеркала равно размеру предмета умноженному на 3, а после отдаления предмета на 80 см оно становится равным половине размера предмета.

Обозначим размер предмета как $s$. Тогда изначальное расстояние $d_i$ равно $3s$, а после отдаления предмета на 80 см оно становится $s/2$.

Теперь, чтобы найти фокусное расстояние $f$ вогнутого зеркала, мы можем использовать тонкую линзовую формулу.

Изначально $d_o$ неизвестно, поэтому мы должны выразить его через $f$ и известные нам значения расстояний.

Сначала используем условие о двукратном уменьшении изображения:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$$

Подставим известные нам значения:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{s/2}$$

Известно также, что изображение предмета в нем превышает его размеры в три раза. Это означает, что:

$$d_i=3s$$

Тогда мы можем переписать выражение для фокусного расстояния так:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{3s}$$

Теперь, используя второе условие о снижении изображения в два раза после отдаления предмета на 80 см, мы можем снова применить тонкую линзовую формулу:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o-80}+\frac{1}{s/2}$$

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих фокусное расстояние с расстояниями и размерами предмета. Задача сводится к решению этой системы уравнений.

Можно решить эту систему уравнений методом замены или методом коэффициентов. Я воспользуюсь методом коэффициентов. Раскроем скобки:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{3s}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o-80}+\frac{1}{s/2}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{f}=\frac{\frac{2}{2}\cdot (d_o-80)+\frac{2}{2}\cdot (3s)}{2\cdot (d_o-80)}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{\frac{s}{3s}\cdot d_o+\frac{4}{s}\cdot (d_o-80)}{2\cdot (d_o-80)}$$

Теперь соединим оба выражения в одно и приведем дробь к общему знаменателю:

$$\frac{1}{f}=\frac{\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4}{s}\cdot (d_o-80)}{2\cdot (d_o-80)}$$

Теперь у нас есть два выражения для $\frac{1}{f}$. Приравняем их:

$$\frac{1}{d_o}+\frac{1}{3s}=\frac{\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4}{s}\cdot (d_o-80)}{2\cdot (d_o-80)}$$

Сократим общий знаменатель:

$$2\cdot (d_o-80)\cdot (1/d_o+1/3s)=2\cdot (d_o-80)\cdot (\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4}{s}\cdot (d_o-80))$$

Раскроем скобки:

$$2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{1}{d_o}+2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{1}{3s}=2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{2}{3s}\cdot d_o+2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{4}{s}\cdot (d_o-80)$$

Сократим общий множитель:

$$2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{1}{d_o}+\frac{2}{3s}\cdot 2\cdot (d_o-80)=\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4}{s}\cdot (d_o-80)\cdot 2\cdot (d_o-80)$$

Распишем правую часть:

$$\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4}{s}\cdot (d_o-80)\cdot 2\cdot (d_o-80)=\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4\cdot 2\cdot (d_o-80{)}^2}{s}$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{1}{d_o}+\frac{2}{3s}\cdot 2\cdot (d_o-80)=\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4\cdot 2\cdot (d_o-80{)}^2}{s}$$

Приведем подобные слагаемые:

$$2\cdot (d_o-80)\cdot \frac{1}{d_o}+\frac{4\cdot (d_o-80)}{3s}=\frac{2}{3s}\cdot d_o+\frac{4\cdot 2\cdot (d_o-80{)}^2}{s}$$

Теперь упростим уравнение, умножив все слагаемые на общий знаменатель $d_o\cdot 3s$:

$$2\cdot (d_o-80)\cdot 3s+4\cdot (d_o-80)\cdot d_o=2\cdot d_o\cdot d_o+4\cdot 2\cdot (d_o-80{)}^2$$

Раскроем скобки:

$$6s\cdot d_o-480s+4d_o^2-320d_o=2d_o^2+4\cdot 2\cdot (d_o-80{)}^2$$

Упростим уравнение:

$$6s\cdot d_o-480s+4d_o^2-320d_o=2d_o^2+4\cdot 2\cdot (d_o^2-160\cdot d_o+{80}^2)$$

Раскроем скобки:

$$6s\cdot d_o-480s+4d_o^2-320d_o=2d_o^2+4\cdot 2\cdot (d_o^2-160\cdot d_o+6400)$$

Распишем правую часть:

$$6s\cdot d_o-480s+4d_o^2-320d_o=2d_o^2+4\cdot 2\cdot (d_o^2-160\cdot d_o+6400)$$

Упростим уравнение:

$$6s\cdot d_o-480s+4d_o^2-320d_o=2d_o^2+4\cdot 2\cdot d_o^2-4\cdot 2\cdot 160\cdot d_o+4\cdot 2\cdot 6400$$

Упростим дальше:

$$6s\cdot d_o-480s+4d_o^2-320d_o=2d_o^2+8d_o^2-1280d_o+51200$$

Перенесем все слагаемые влево, получим:

$$6s\cdot d_o-4d_o^2-320d_o-2d_o^2+8d_o^2-1280d_o+480s-51200=0$$

Объединим слагаемые:

$$(6s-2+8)d_o^2+(-320-1280)d_o+(480s-51200)=0$$

Упростим выражение:

$$12s\cdot d_o^2-1600d_o+480s-51200=0$$

Теперь полученное квадратное уравнение позволяет найти значение $d_o$. Найдем его, используя дискриминант $D$:

$$D=b^2-4ac$$

$$D=(-1600{)}^2-4\cdot 12s\cdot (480s-51200)$$

Раскроем скобки:

$$D=2560000-4\cdot 12s\cdot 480s+4\cdot 12s\cdot 51200$$

$$D=2560000-4\cdot 12\cdot 480\cdot s^2+4\cdot 12\cdot s\cdot 51200$$

Упростим выражение:

$$D=2560000-230400\cdot s+2457600\cdot s$$

$$D=2560000+2457600\cdot s-230400\cdot s$$

$$D=5017600+1537200\cdot s$$

Теперь, найдя значение $D$, можно применить квадратный корень к $D$ и использовать формулу:

$$d_o=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим известные значения:

$$d_o=\frac{-(-1600)\pm \sqrt{5017600+1537200\cdot s}}{2\cdot 12s}$$

$$d_o=\frac{1600\pm \sqrt{5017600+1537200\cdot s}}{24s}$$

Таким образом, фокусное расстояние вогнутого зеркала будет зависеть от значения $s$ - размера предмета.

Пожалуйста, уточните значение $s$, чтобы я мог продолжить решение задачи.