Какое из следующих выражений имеет большее значение, если m является натуральным числом больше 1: A) m с вычитанием

Yabeda

40

Давайте рассмотрим каждое из выражений по отдельности и найдем наибольшее значение для каждого природного числа m, большего 1.

A) m с вычитанием 1: \(m - 1\). Значение этого выражения зависит от конкретного значения m. Например, если m = 3, то \(3 - 1 = 2\) и так далее. Это выражение будет меньше, чем само m для любого натурального числа m.

B) m в квадрате плюс 1: \(m^2 + 1\). Это выражение представляет собой квадрат числа m, увеличенный на 1. Когда m увеличивается, значение выражения также увеличивается. Например, при m = 2, \(2^2 + 1 = 5\), при m = 3, \(3^2 + 1 = 10\) и так далее. Таким образом, это выражение будет больше, чем m для любого натурального числа m.

C) m в кубе минус 1: \(m^3 - 1\). Это выражение представляет собой куб числа m, уменьшенный на 1. Когда m увеличивается, значение выражения также увеличивается. Например, при m = 2, \(2^3 - 1 = 7\), при m = 3, \(3^3 - 1 = 26\) и так далее. Таким образом, это выражение будет больше, чем m для любого натурального числа m.

D) m. Здесь мы просто берем значение числа m. Очевидно, что это значение будет меньше, чем m в квадрате (выражение B) или m в кубе минус 1 (выражение C) для любого натурального числа m.

E) m в квадрате минус 1: \(m^2 - 1\). Подобно выражению B, это выражение представляет собой квадрат числа m, но с вычитанием 1. Как и в случае с выражением B, прирост значения выражения с увеличением m будет больше, чем прирост значения m. Например, при m = 2, \(2^2 - 1 = 3\), при m = 3, \(3^2 - 1 = 8\) и так далее. Таким образом, это выражение будет больше, чем m для любого натурального числа m.

Итак, из всех данных выражений наибольшее значение будет у выражения C) m в кубе минус 1: \(m^3 - 1\). Однако, для полного доказательства нам следует провести индуктивное доказательство.

Мы можем увидеть, что для m = 2, значение данного выражения равно 7, а для m = 3, значение равно 26. Давайте предположим, что для некоторого натурального числа k, значение \(k^3 - 1\) больше значения \(k^2 + 1\) и покажем, что это верно и для k + 1.

Пусть значение \(k^3 - 1\) больше значения \(k^2 + 1\).
Тогда, при добавлении к обоим частям этого равенства выражения k + 1, получим:
\((k + 1)^3 - 1\) больше чем \((k + 1)^2 + 1\).
Раскроем скобки:
\(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 1\) больше чем \(k^2 + 2k + 1 + 1\).
Упростим:
\(k^3 + 3k^2 + 3k\) больше чем \(k^2 + 2k + 2\).
При переносе всех слагаемых влево получим:
\(k^3 + 3k^2 - k^2 - 2k + 3k - 2\) больше чем 0.
Упростим:
\(k^3 + 2k^2 + k - 2\) больше чем 0.

Мы видим, что левая часть выражения больше нуля для любого натурального числа k, так как она является суммой куба (положительное значение), квадрата (положительное значение) и линейного слагаемого (положительное значение для натуральных чисел).

Таким образом, мы доказали, что выражение \(m^3 - 1\) будет иметь наибольшее значение для любого натурального числа m, большего 1.