Какое количество радиоактивных ядер останется не распавшимися через время, равное одному, двум, трем и четырем периодам

Крошка_6322

53

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон радиоактивного распада, который говорит, что количество оставшихся не распавшимися радиоактивных ядер со временем убывает экспоненциально. Формула для вычисления количества оставшихся не распавшихся ядер в зависимости от времени имеет следующий вид:

\[N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\],

где \(N(t)\) - количество оставшихся не распавшихся ядер в момент времени \(t\),
\(N_0\) - изначальное количество радиоактивных ядер (в нашем случае 800),
\(T\) - период полураспада радиоактивного препарата.

Для решения первой части задачи, найдем количество оставшихся не распавшихся ядер через время, равное одному, двум, трем и четырем периодам полураспада.

1. Для времени, равного одному периоду полураспада, подставим \(t = T\) в формулу:

\[N(T) = N_0 \cdot 2^{-\frac{T}{T}} = N_0 \cdot 2^{-1} = \frac{N_0}{2}\]

Таким образом, через один период полураспада останется \(\frac{800}{2} = 400\) не распавшихся ядер.

2. Для времени, равного двум периодам полураспада, подставим \(t = 2T\) в формулу:

\[N(2T) = N_0 \cdot 2^{-\frac{2T}{T}} = N_0 \cdot 2^{-2} = \frac{N_0}{4}\]

Таким образом, через два периода полураспада останется \(\frac{800}{4} = 200\) не распавшихся ядер.

3. Для времени, равного трем периодам полураспада, подставим \(t = 3T\) в формулу:

\[N(3T) = N_0 \cdot 2^{-\frac{3T}{T}} = N_0 \cdot 2^{-3} = \frac{N_0}{8}\]

Таким образом, через три периода полураспада останется \(\frac{800}{8} = 100\) не распавшихся ядер.

4. Для времени, равного четырем периодам полураспада, подставим \(t = 4T\) в формулу:

\[N(4T) = N_0 \cdot 2^{-\frac{4T}{T}} = N_0 \cdot 2^{-4} = \frac{N_0}{16}\]

Таким образом, через четыре периода полураспада останется \(\frac{800}{16} = 50\) не распавшихся ядер.

Теперь рассмотрим количество ядер, которые распадутся за этот же промежуток времени.

Для этого можно воспользоваться формулой для вычисления количества распавшихся ядер:

\[N_{\text{распавшиеся}}(t) = N_0 - N(t)\],

где \(N_{\text{распавшиеся}}(t)\) - количество распавшихся ядер в момент времени \(t\).

Таблица значений будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
t & \text{Количество не распавшихся ядер} & \text{Количество распавшихся ядер} \\
\hline
0 & 800 & 0 \\
T & 400 & 400 \\
2T & 200 & 600 \\
3T & 100 & 700 \\
4T & 50 & 750 \\
t \to \infty & 0 & 800 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь построим график зависимости числа распавшихся ядер от времени:

\[N_{\text{распавшиеся}}(t)\]