Какое количество способов существует, чтобы выбрать четыре пронумерованные вершины правильного тридцатиугольника

Солнечный_Наркоман

69

Чтобы понять количество способов выбрать четыре пронумерованные вершины правильного тридцатиугольника, образующие трапецию, давайте рассмотрим задачу по шагам.

1. Вначале, давайте посмотрим, какие вершины мы можем выбрать. У нас есть 30 вершин в правильном тридцатиугольнике.

2. Для образования трапеции, мы должны выбрать две из этих 30 вершин в качестве боковых сторон трапеции. Поскольку качестве боковых сторон можно выбрать любые две вершины, то количество способов выбрать эти две вершины из 30 можно посчитать по формуле сочетаний: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество возможных вершин, а \(k\) - количество вершин, которые нужно выбрать.

3. В данном случае, нам нужно выбрать 2 вершины из 30, поэтому количество способов можно посчитать, подставив значения в формулу:

\(\binom{30}{2} = \frac{30!}{2!(30-2)!}\)

Посчитаем это значение:

\(\frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2!28!}\)

4. Осталось учесть, что для каждой такой пары боковых сторон, у нас есть два возможных варианта выбора двух других вершин из оставшихся 28 вершин. Это связано с тем, что в трапеции мы имеем две пары параллельных сторон и можем выбрать вершины в любом порядке.

Таким образом, окончательный ответ можно получить, умножив полученное значение на 2:

\(\binom{30}{2} \cdot 2 = \frac{30!}{2!28!} \cdot 2\)

Теперь давайте посчитаем это значение:

\(\frac{30!}{2!28!} \cdot 2 = \frac{30 \cdot 29}{2} \cdot 2 = 30 \cdot 29 = 870\)

Итак, количество способов выбрать четыре пронумерованные вершины правильного тридцатиугольника, образующие трапецию, равно 870.