Какое количество вариантов существует для покраски всех семи досок прямого забора, если требуется, чтобы каждые

Elisey

58

Для решения данной задачи, мы можем использовать принцип Дирихле для того, чтобы определить количество возможных вариантов покраски всех семи досок.

Итак, у нас есть семь досок забора, и мы должны покрасить их с использованием пяти доступных цветов таким образом, чтобы каждые три соседние доски были разного цвета.

Давайте рассмотрим первые три доски. У нас есть пять цветов, из которых мы можем выбрать цвет для первой доски. После этого, у нас остается четыре цвета для выбора цвета второй доски (так как нам нужно выбрать цвет, отличный от цвета первой доски). Наконец, для третьей доски у нас остается три доступных цвета для выбора (так как нам нужно выбрать цвет, отличный от цветов первых двух досок).

Таким образом, существует \(5 \times 4 \times 3 = 60\) возможных комбинаций покраски первых трех досок.

После того, как мы покрасили первые три доски, давайте рассмотрим следующие три доски. У нас снова есть пять цветов для выбора цвета четвертой доски, так как она должна отличаться от цветов предыдущих трех досок. Для пятой доски мы снова имеем четыре доступных цвета для выбора, а для шестой доски - еще три доступных цвета.

Итак, для последних трех досок существует \(5 \times 4 \times 3 = 60\) возможных комбинаций покраски.

Итоговое количество возможных вариантов покраски всех семи досок можно получить, умножив количество возможных комбинаций покраски первых трех досок на количество возможных комбинаций покраски последних трех досок:

\(60 \times 60 = 3600\)

Таким образом, имеется 3600 различных вариантов покраски всех семи досок прямого забора при условии, что каждые три соседние доски должны быть разного цвета и доступно пять цветов для покраски.