Какое максимальное количество сторон может иметь выпуклый многоугольник, в котором все углы равны либо 172º, либо 173º?

Волшебник

59

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать формулу для суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. Для многоугольника с n сторонами, сумма внутренних углов равна (n - 2) × 180º.

Мы знаем, что углы в нашем многоугольнике равны либо 172º, либо 173º. Предположим, что все углы равны 172º. В этом случае сумма внутренних углов будет равна n × 172º. Однако нам нужно, чтобы сумма была кратна 180º, так как это требование для выпуклого многоугольника.

Теперь рассмотрим второй вариант, где все углы равны 173º. В этом случае сумма внутренних углов будет равна n × 173º. Снова мы хотим, чтобы сумма была кратна 180º.

Давайте определим, существуют ли целочисленные значения n, чтобы суммы n × 172º и n × 173º были кратны 180º.

Мы можем записать уравнения:
n × 172º = a × 180º,
n × 173º = b × 180º,

где a и b - целые числа.

Мы видим, что оба значения содержат a × 180º и b × 180º. Это значит, что любое целое число, которое может быть представлено как произведение двух целых значений и 180º, может быть количеством сторон выпуклого многоугольника с углами 172º и 173º.

Таким образом, максимальное количество сторон, возможное для такого многоугольника, неограничено - оно может быть любым положительным целым числом. Например, многоугольник может иметь 180 сторон, где каждый угол равен 172º, или 360 сторон, где каждый угол равен 173º.