Какое максимальное значение может иметь основание N в системе счисления, если число 281 записывается в ней с 3 цифрами

Таинственный_Рыцарь

1

двумя нулями?

Чтобы решить эту задачу, мы должны привести числовую запись числа 281 в системе счисления с основанием N. Затем мы можем анализировать, как изменяется число в зависимости от основания системы счисления.

Итак, число 281 записывается в системе счисления с основанием N с 3 цифрами и заканчивается двумя нулями. Это означает, что число 281 может быть записано в виде:

\[2N^2 + 8N + 1\]

потому что число с 3 цифрами будет иметь коэффициент при \(N^2\), \(N\) и единичный коэффициент.

Мы также знаем, что число 281 заканчивается двумя нулями. Это означает, что последние две цифры числа равны нулю. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[2N^2 + 8N + 1 = 100\]

Теперь давайте решим это уравнение для получения значения основания N. Для этого мы сначала преобразуем уравнение в квадратное уравнение и затем решим его.

\[2N^2 + 8N + 1 - 100 = 0\]
\[2N^2 + 8N - 99 = 0\]

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы решить это уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 2\), \(b = 8\) и \(c = -99\). Подставляем значения:

\[D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-99)\]
\[D = 64 + 792\]
\[D = 856\]

Теперь нам нужно найти корни уравнения, используя формулу:

\[N = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значение D:

\[N = \frac{-8 \pm \sqrt{856}}{2 \cdot 2}\]
\[N = \frac{-8 \pm \sqrt{856}}{4}\]

Рассчитываем значения:

\[N = \frac{-8 \pm \sqrt{856}}{4}\]
\[N = \frac{-8 \pm 2\sqrt{214}}{4}\]
\[N = \frac{-2 \pm \sqrt{214}}{2}\]

Таким образом, возможные значения основания N для этой системы счисления будут:

\[N = \frac{-2 + \sqrt{214}}{2} \approx 9.75\]
\[N = \frac{-2 - \sqrt{214}}{2} \approx -0.75\]

Основание системы счисления должно быть положительным целым числом. Следовательно, максимальное значение основания N, которое допустимо, будет 9.

Итак, максимальное значение основания N в системе счисления, где число 281 записывается с 3 цифрами и заканчивается двумя нулями, равно 9.