Какое максимальное значение принимает функция: y=√(-115-28x-x²)?

Заяц

49

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = \sqrt{-115 - 28x - x^2}\), мы должны использовать технику дифференциального исчисления. Для начала, давайте найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

Производная функции \(y\) будет выглядеть следующим образом:

\[
y" = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{-115 - 28x - x^2}\right)
\]

Чтобы упростить вычисления, мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Для этого нам понадобится производная функции вида \(\sqrt{u}\), где \(u\) - некоторая функция от \(x\). Правило гласит:

\[
\frac{d}{dx}\left(\sqrt{u}\right) = \frac{u"}{2\sqrt{u}}
\]

Применив это правило, мы можем записать производную функции \(y\) как:

\[
y" = \frac{-115 - 28x - x^2}{{\color{red}2\sqrt{-115 - 28x - x^2}}}
\]

Теперь нам нужно решить уравнение \(y" = 0\), чтобы найти точку экстремума. Подставим значение нуля в выражение \(y"\):

\[
0 = \frac{-115 - 28x - x^2}{{\color{red}2\sqrt{-115 - 28x - x^2}}}
\]

Мы можем умножить оба выражения на \({\color{red}2\sqrt{-115 - 28x - x^2}}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
0 = -115 - 28x - x^2
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, и мы можем решить его, приравняв его к нулю. Обозначим его как \(f(x)\):

\[
f(x) = -115 - 28x - x^2 = 0
\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать метод дискриминанта или применить квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Сравнивая это выражение с уравнением \(f(x)\), мы видим, что \(a = -1\), \(b = -28\) и \(c = -115\). Подставим значения в формулу:

\[
x = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(-1)(-115)}}{2(-1)}
\]

Упростим это выражение:

\[
x = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 460}}{-2}
\]

\[
x = \frac{28 \pm \sqrt{324}}{-2}
\]

\[
x = \frac{28 \pm 18}{-2}
\]

Теперь рассмотрим два случая: когда знак в выражении \(\pm\) будет принимать положительное значение и когда знак будет принимать отрицательное значение.

1. Когда знак \(\pm\) принимает положительное значение:

\[
x_{1} = \frac{28 + 18}{-2} = -23
\]

2. Когда знак \(\pm\) принимает отрицательное значение:

\[
x_{2} = \frac{28 - 18}{-2} = -5
\]

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\), мы должны подставить эти значения \(x\) обратно в исходную функцию \(y = \sqrt{-115 - 28x - x^2}\).

1. Подставим \(x = -23\):

\[
y_{1} = \sqrt{-115 - 28(-23) - (-23)^2} = \sqrt{-115 + 644 + 529} = \sqrt{1058} \approx 32.56
\]

2. Подставим \(x = -5\):

\[
y_{2} = \sqrt{-115 - 28(-5) - (-5)^2} = \sqrt{-115 + 140 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07
\]

Таким образом, максимальное значение функции \(y\) равно \(32.56\) при \(x = -23\) и \(5\sqrt{2} \approx 7.07\) при \(x = -5\).