Какое максимальное значение принимает функция y=16x-5sinx+3 на интервале от -п/2

Руслан

67

Для решения этой задачи, давайте сначала найдем критические точки функции \(y = 16x - 5\sin(x) + 3\) на заданном интервале \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).

Критические точки функции соответствуют значениям аргумента \(x\), где производная функции равна нулю или не существует. Производная функции \(y = 16x - 5\sin(x) + 3\) можно найти, взяв производную от каждого слагаемого. Давайте найдем производную функции:

\[
\frac{dy}{dx} = 16 - 5\cos(x)
\]

Теперь, чтобы найти критические точки на заданном интервале, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

\[
16 - 5\cos(x) = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
5\cos(x) = 16
\]

\[
\cos(x) = \frac{16}{5}
\]

На интервале \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), функция \(\cos(x)\) положительна, поэтому мы можем взять арккосинус от обеих сторон уравнения:

\[
x = \arccos\left(\frac{16}{5}\right)
\]

Остается только вычислить значение \(y\) в найденной критической точке:

\[
y = 16x - 5\sin(x) + 3
\]

Подставляем \(x = \arccos\left(\frac{16}{5}\right)\) в эту формулу, и получаем искомое максимальное значение функции \(y\).

Если вы проведете все вычисления, вы получите ответ.