Какое максимальное значение принимает функция y=16x-5sinx+3 на интервале от -п/2

Руслан

67

Для решения этой задачи, давайте сначала найдем критические точки функции $y=16x-5\sin (x)+3$ на заданном интервале $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

Критические точки функции соответствуют значениям аргумента $x$, где производная функции равна нулю или не существует. Производная функции $y=16x-5\sin (x)+3$ можно найти, взяв производную от каждого слагаемого. Давайте найдем производную функции:

$$\frac{dy}{dx}=16-5\cos (x)$$

Теперь, чтобы найти критические точки на заданном интервале, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

$$16-5\cos (x)=0$$

Решим это уравнение:

$$5\cos (x)=16$$

$$\cos (x)=\frac{16}{5}$$

На интервале $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, функция $\cos (x)$ положительна, поэтому мы можем взять арккосинус от обеих сторон уравнения:

$$x=\arccos \left(\frac{16}{5}\right)$$

Остается только вычислить значение $y$ в найденной критической точке:

$$y=16x-5\sin (x)+3$$

Подставляем $x=\arccos \left(\frac{16}{5}\right)$ в эту формулу, и получаем искомое максимальное значение функции $y$.

Если вы проведете все вычисления, вы получите ответ.