Какое максимальное значение принимает функция y=х^3+6^2+9х+11 на интервале [-5;-2]?

Янгол

9

Для начала, давайте найдем значения функции \(y = x^3+6x^2+9x+11\) на границах интервала, то есть при \(x=-5\) и \(x=-2\). Подставим эти значения в уравнение и вычислим:

При \(x = -5\):
\[y = (-5)^3+6(-5)^2+9(-5)+11\]
\[y = -125+150-45+11\]
\[y = -9\]

При \(x = -2\):
\[y = (-2)^3+6(-2)^2+9(-2)+11\]
\[y = -8+24-18+11\]
\[y = 9\]

Теперь, чтобы найти максимальное значение функции на интервале \([-5;-2]\), нужно найти точки, где функция достигает экстремума. Экстремумы могут быть максимумами или минимумами. Мы можем найти их, взяв производную функции и приравняв ее к нулю.

\[y" = 3x^2+12x+9\]

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[3x^2+12x+9 = 0\]

Мы можем разложить это квадратное уравнение на множители или использовать формулу дискриминанта. В данном случае, использование формулы дискриминанта будет проще:

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2+bx+c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

Подставим значения \(a = 3\), \(b = 12\), \(c = 9\) в формулу дискриминанта:

\[D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9\]
\[D = 144 - 108\]
\[D = 36\]

Теперь найдем корни уравнения с использованием дискриминанта:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x = \frac{-12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 3}\]
\[x = \frac{-12 \pm 6}{6}\]

Получаем два значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{-12 + 6}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]
\[x_2 = \frac{-12 - 6}{6} = \frac{-18}{6} = -3\]

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим \(x_1\) и \(x_2\) в исходное уравнение:

При \(x = -1\):
\[y = (-1)^3+6(-1)^2+9(-1)+11\]
\[y = -1+6-9+11\]
\[y = 7\]

При \(x = -3\):
\[y = (-3)^3+6(-3)^2+9(-3)+11\]
\[y = -27+54-27+11\]
\[y = 11\]

Таким образом, на интервале \([-5;-2]\) функция \(y = x^3+6x^2+9x+11\) достигает своего максимального значения равного 11 при \(x = -3\).