Какое минимальное число различных чисел могло быть записано на доске, если Вася выписал 30 различных целых чисел

Cyplenok

60

Для решения этой задачи, нам необходимо выяснить, какое минимальное количество различных чисел могло быть записано на доске.

Пусть \(n\) - количество различных чисел, записанных на доске. Так как Вася возведет каждое число в квадрат или куб, то каждое число должно быть неотрицательным.

Таким образом, мы можем предположить, что все числа, записанные Васей на доске, являются полными кубами или полными квадратами.

Давайте рассмотрим несколько наборов чисел:

1) Если мы используем только полные квадраты, то мы можем использовать следующие числа: 0, 1, 4, 9, 16 и т.д. - все неотрицательные квадраты. Всего таких чисел бесконечно много.

2) Если мы используем только полные кубы, то мы можем использовать следующие числа: 0, 1, 8, 27, 64 и т.д. - все неотрицательные кубы. Всего таких чисел также бесконечно много.

3) Теперь предположим, что существует хотя бы одно число, которое является и полным квадратом, и полным кубом одновременно.

Рассмотрим некоторые примеры таких чисел:
\(0^2 = 0^3 = 0\),
\(1^2 = 1^3 = 1\),
\(64^2 = 4,096\) и \(4^3 = 64\).
\(729^2 = 531,441\) и \(9^3 = 729\) и т.д.

Мы видим, что множество таких чисел очень ограничено.

Теперь нам нужно определить минимальное количество различных чисел. Чтобы добиться минимального количества, мы должны использовать максимально возможное количество чисел из переменного набора (например, полных квадратов или полных кубов), а затем добавить одно число, которое является и полным квадратом, и полным кубом.

Как мы уже отметили, есть только несколько примеров таких чисел. Два примера, которые мы рассмотрели, это 0 и 1. Таким образом, минимальное количество различных чисел на доске составляет 2.

Ответ: Минимальное количество различных чисел, которые могут быть записаны на доске, равно 2.