Какое минимальное количество раз старик должен закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была

Roza

11

Для решения этой задачи нам потребуется концепция вероятностей. Пусть \(p\) будет вероятностью поймать рыбу с одним закидыванием невода. Сначала посчитаем вероятность \(P(\text{{не поймать рыбу}})\).

При каждом закидывании невода есть две возможности: либо поймать рыбу, либо не поймать. Поэтому можно выразить вероятность не поймать рыбу при одном закидывании как \((1-p)\).

Допустим, старик будет закидывать невод \(n\) раз и независимо от предыдущих попыток. Вероятность не поймать ни одну рыбу за \(n\) попыток равна произведению вероятностей не поймать рыбу в каждой отдельной попытке, так как события независимы:

\[P(\text{{не поймать рыбу за }} n \text{{ попыток}}) = (1-p)^n\]

Тогда вероятность поймать хотя бы одну рыбу за \(n\) попыток равна дополнению к вероятности не поймать ни одну рыбу:

\[P(\text{{поймать хотя бы одну рыбу за }} n \text{{ попыток}}) = 1 - P(\text{{не поймать рыбу за }} n \text{{ попыток}})\]

Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0,95.

Решим неравенство:

\[1 - P(\text{{не поймать рыбу за }} n \text{{ попыток}}) \geq 0,95\]

Подставим выражение для вероятности:

\[1 - (1-p)^n \geq 0,95\]

Выразим \(p\):

\[(1-p)^n \leq 0,05\]

Извлечем корень из обеих частей неравенства:

\[1-p \leq \sqrt[n]{0,05}\]

Перенесем переменную \(p\) влево:

\[p \geq 1 - \sqrt[n]{0,05}\]

Таким образом, минимальное количество раз, которое старик должен закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была не менее 0,95, равно \(\lceil 1 / (1 - \sqrt[n]{0,05}) \rceil\), где \(\lceil x \rceil\) обозначает округление числа \(x\) вверх до ближайшего целого.