Какое минимальное количество раз старик должен закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была

Roza

11

Для решения этой задачи нам потребуется концепция вероятностей. Пусть $p$ будет вероятностью поймать рыбу с одним закидыванием невода. Сначала посчитаем вероятность $P(\text{{не поймать рыбу}})$.

При каждом закидывании невода есть две возможности: либо поймать рыбу, либо не поймать. Поэтому можно выразить вероятность не поймать рыбу при одном закидывании как $(1-p)$.

Допустим, старик будет закидывать невод $n$ раз и независимо от предыдущих попыток. Вероятность не поймать ни одну рыбу за $n$ попыток равна произведению вероятностей не поймать рыбу в каждой отдельной попытке, так как события независимы:

$$P(\text{{не поймать рыбу за }}n\text{{ попыток}})=(1-p{)}^n$$

Тогда вероятность поймать хотя бы одну рыбу за $n$ попыток равна дополнению к вероятности не поймать ни одну рыбу:

$$P(\text{{поймать хотя бы одну рыбу за }}n\text{{ попыток}})=1-P(\text{{не поймать рыбу за }}n\text{{ попыток}})$$

Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее 0,95.

Решим неравенство:

$$1-P(\text{{не поймать рыбу за }}n\text{{ попыток}})\ge 0,95$$

Подставим выражение для вероятности:

$$1-(1-p{)}^n\ge 0,95$$

Выразим $p$:

$$(1-p{)}^n\le 0,05$$

Извлечем корень из обеих частей неравенства:

$$1-p\le \sqrt[n]{0,05}$$

Перенесем переменную $p$ влево:

$$p\ge 1-\sqrt[n]{0,05}$$

Таким образом, минимальное количество раз, которое старик должен закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была не менее 0,95, равно $\lceil 1/(1-\sqrt[n]{0,05})\rceil$, где $\lceil x\rceil$ обозначает округление числа $x$ вверх до ближайшего целого.