Какое минимальное натуральное число n существует, при котором есть 4 последовательных натуральных числа, произведение

Rodion

66

Для решения данной задачи мы должны найти наименьшее натуральное число \( n \), для которого выполняется условие задачи, а именно, должно существовать четыре последовательных натуральных числа, произведение которых не является кратным 4.

Давайте разберемся, какие числа могут быть такими последовательностями. Пусть первое из четырех чисел равно \( n \), тогда следующие три последовательных числа будут \( n+1 \), \( n+2 \) и \( n+3 \).

Теперь мы можем выразить произведение этих чисел:
\[ P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \]

Мы должны найти такое наименьшее натуральное число \( n \), при котором произведение \( P \) не кратно 4. Для этого нам понадобится разложение числа на множители.

Посмотрим на множители \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \) и \( n+3 \). Из этих чисел, как минимум одно должно быть нечетным.

Если \( n \) является четным числом, то одно из чисел \( n+1 \), \( n+2 \) или \( n+3 \) будет нечетным, так как четное число плюс 1 всегда даёт нечётное число. А значит, в произведении \( P \) будет нечетный множитель, и оно не будет кратным 4.

Аналогично, если \( n \) является нечетным числом, то одно из чисел \( n+1 \), \( n+2 \) или \( n+3 \) будет четным, так как нечетное число плюс 2 или 3 также даёт четное число. И снова, произведение \( P \) будет содержать четный множитель, и оно не будет кратным 4.

Таким образом, условие задачи выполняется для любого натурального числа \( n \).

Ответ: Натуральное число \( n \) не существует. Все натуральные числа подходят для данной задачи.