1) Сколько возможных комбинаций можно получить из алфавита, состоящего из 15 букв (10 согласных и 5 гласных

Алекс

26

Давайте разберем каждый из случаев по очереди.

а) Для составления слова из четырех различных букв, мы должны выбрать 4 различные буквы из общего числа 15 букв. Это число комбинаций можно найти по формуле сочетаний:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данном случае, \(n = 15\) (общее число букв) и \(k = 4\) (количество выбираемых букв). Подставляя значения в формулу:

\[
C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot (15-4)!}}
\]

\[
C(15, 4) = \frac{{15!}}{{4! \cdot 11!}}
\]

Теперь вычислим это значение:

\[
C(15, 4) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}}{{4! \cdot 11!}}
\]

\[
C(15, 4) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

\[
C(15, 4) = 1365
\]

Таким образом, возможно составить 1365 различных комбинаций слов из четырех различных букв.

б) Для формирования числа из трех различных цифр, при условии, что первая цифра не может быть нулем, мы имеем 9 вариантов для первой цифры (1-9) и 9 вариантов для второй цифры (0-9, за исключением первой цифры). Для третьей цифры у нас остается 8 вариантов (0-9, за исключением первой и второй цифр). Общее число комбинаций можно найти, умножив количество вариантов между собой:

Количество комбинаций = 9 * 9 * 8 = 648

Таким образом, мы можем сформировать 648 различных чисел из трех различных цифр.

в) Чтобы создать анаграммы слова "СЕКУНДА", нам необходимо переставлять буквы в различных комбинациях. Для этого мы будем использовать формулу перестановок:

P(n) = n!

где \(n\) - количество элементов.

В данном случае, \(n = 7\) (количество букв в слове "СЕКУНДА"). Подставляя значение в формулу:

P(7) = 7!

Посчитаем факториал:

P(7) = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

P(7) = 5040

Таким образом, мы можем создать 5040 анаграмм слова "СЕКУНДА".

г) Для сборки слова из восьми различных букв с чередующимися гласными и согласными, мы должны достаточно выбрать 4 гласные буквы из 5 согласных и 4 гласных. Затем мы должны выбрать 4 согласные буквы из 10 согласных букв. Общее количество комбинаций можно найти, умножив количество комбинаций гласных и согласных букв:

Количество комбинаций = C(5, 4) * C(10, 4)

Вычислим это значение:

Количество комбинаций = \(\frac{{5!}}{{4! \cdot (5-4)!}}\) * \(\frac{{10!}}{{4! \cdot (10-4)!}}\)

Количество комбинаций = \(\frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\) * \(\frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\)

Количество комбинаций = 5 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5

Количество комбинаций = 7 560 000

Таким образом, мы можем собрать 7 560 000 слов из восьми различных букв с чередующимися гласными и согласными.

д) Для выбора слова из не более чем четырех букв с условием, что все буквы различны, мы можем использовать сочетания с повторениями. Общее количество комбинаций можно найти, используя формулу:

C(n, k) = \(\frac{{(n + k - 1)!}}{{k! \cdot (n-1)!}}\)

где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В данном случае, \(n = 15\) (общее количество букв и цифр) и \(k = 4\) (не более чем четыре буквы). Подставляя значения в формулу:

C(15, 4) = \(\frac{{(15 + 4 - 1)!}}{{4! \cdot (15-1)!}}\)

C(15, 4) = \(\frac{{18!}}{{4! \cdot 14!}}\)

Вычислим это значение:

C(15, 4) = \(\frac{{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}}{{4! \cdot 14!}}\)

C(15, 4) = \(\frac{{18 \cdot 17 \cdot 16}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\)

C(15, 4) = 816

Таким образом, мы можем выбрать 816 слов из не более чем четырех различных букв, при условии, что все буквы различны.

е) Чтобы создать анаграмму слова "СЕКУНДА", предотвращая появление трех гласных букв подряд, мы можем использовать формулу для перестановок с ограничениями.

Мы имеем 5 букв в слове "СЕКУНДА", из которых 3 являются гласными (Е, У и А). Чтобы предотвратить появление трех гласных букв подряд, нам нужно разбить буквы на группы, где каждая группа содержит не более двух гласных букв. У нас есть 3 гласных буквы, поэтому есть только два возможных случая разбиения: группа из одной гласной буквы и группа из двух гласных букв.

Случай 1: Группа из одной гласной буквы:

В этом случае у нас остается 2 гласные буквы и 5-1 = 4 согласные буквы (К, Н, Д и С). Мы можем рассмотреть это как перестановку между двумя группами: группа из 2 гласных букв и группа из 4 согласных букв.

Количество комбинаций = P(2) * P(4)

Вычислим это значение:

Количество комбинаций = 2! * 4!

Количество комбинаций = 2 * 1 * 4 * 3 * 2 * 1

Количество комбинаций = 48

Случай 2: Группа из двух гласных букв:

В этом случае у нас остается 1 гласная буква и 5-2 = 3 согласные буквы (К, Н и Д). Мы можем рассмотреть это как перестановку между двумя группами: группа из 1 гласной буквы и группа из 3 согласных букв.

Количество комбинаций = P(1) * P(3)

Вычислим это значение:

Количество комбинаций = 1! * 3!

Количество комбинаций = 1 * 1 * 3 * 2 * 1

Количество комбинаций = 6

Теперь сложим количество комбинаций из двух случаев:

48 + 6 = 54

Таким образом, мы можем создать 54 анаграммы слова "СЕКУНДА", предотвращая появление трех гласных букв подряд.