Какое минимальное расстояние достигнет верхний шарик от нижнего, если его отпустить? Verbatim: На какое расстояние

Валентина

60

Для решения задачи о расстоянии между двумя шариками, один из которых закреплен, а другой свободно скользит по вертикальной диэлектрической спице, нужно применить законы сохранения энергии и импульса.

Первым шагом, обозначим начальные условия задачи. Пусть масса верхнего шарика \(m_1\) равна \(0.1\) кг, расстояние между шариками \(d\) равно \(8\) см (или \(0.08\) м), и нижний шарик закреплен.

Далее, применим закон сохранения энергии. Поскольку система только потенциальна, полная механическая энергия должна сохраняться. Изначально верхний шарик неподвижен на высоте \(d\), его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия \(E_{\text{п}}\) равна \(m_1 \cdot g \cdot d\), где \(g\) - ускорение свободного падения (\(9.8 \, \text{м/с}^2\) на Земле).

При достижении нижним шариком своей максимальной амплитуды, верхний шарик остановится и его потенциальная энергия достигнет максимума. В этот момент его кинетическая энергия будет равна нулю, так как он не движется.

С учётом закона сохранения энергии можно записать:

\[E_{\text{п}} = m_1 \cdot g \cdot d = \frac{1}{2} m_1 \cdot v^2\]

где \(v\) - скорость верхнего шарика в момент его минимального расстояния от нижнего шарика.

Также, применим закон сохранения импульса. При столкновении шариков, их импульсы должны быть равными по модулю и противоположными по направлению.

Мгновенно до столкновения у верхнего шарика будет некоторая скорость \(v_0\), а после столкновения она изменится на \(-v_0\). Выразим импульсы в моменты до и после столкновения:

\[p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_0\]
\[p_{\text{после}} = m_1 \cdot (-v_0)\]

Согласно закону сохранения импульса, импульсы должны равняться:

\[m_1 \cdot v_0 = m_1 \cdot (-v_0)\]

Отсюда получаем \(v_0 = -v_0\), что значит, что скорость \(v_0\) равна нулю.

Теперь вернёмся к уравнению энергии:

\[E_{\text{п}} = \frac{1}{2} m_1 \cdot v^2\]

Подставим \(v = 0\) в это уравнение и найдём \(E_{\text{п}}\):

\[E_{\text{п}} = \frac{1}{2} m_1 \cdot 0^2 = 0\]

Отсюда можно сделать вывод, что верхний шарик в момент минимального расстояния от нижнего шарика будет находиться на всей основной высоте работы силы тяжести. Следовательно, расстояние между шариками в этот момент будет равно высоте основания, то есть \(d\).

Таким образом, ответ на данную задачу состоит в том, что минимальное расстояние, которое достигнет верхний шарик от нижнего, если его отпустить, будет равно \(d\), то есть \(8\) см или \(0.08\) м.