Какое наибольшее целое число может быть корнем данного уравнения, в котором оба корня меньше нуля? Уравнение: а2

Луна_В_Облаках_4169

34

Чтобы найти наибольшее целое число, которое может быть корнем данного уравнения, мы должны рассмотреть различные значения \( a \). Давайте решим это уравнение пошагово, чтобы ответ был понятен.

Исходное уравнение: \( a^2x^2 + ax + 1 - 7a^2 = 0 \)

1. Раскроем скобки: \( a^2x^2 + ax + 1 - 7a^2 = 0 \)
2. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \( a^2x^2 + ax - 7a^2 + 1 = 0 \)
3. Заменим \( x \) на \( -x \), чтобы поместить оба корня уравнения слева от нуля: \( a^2(-x)^2 + a(-x) - 7a^2 + 1 = 0 \)
4. Упростим уравнение: \( a^2x^2 - ax - 7a^2 + 1 = 0 \)

Теперь мы видим, что исходное уравнение и уравнение после замены \( x \) на \( -x \) имеют одинаковую форму, поэтому они должны иметь одинаковые корни. То есть, чтобы найти наибольшее целое число, мы можем решить это уравнение без условия "оба корня меньше нуля".

5. Решим это уравнение: \( a^2x^2 - ax - 7a^2 + 1 = 0 \)
6. Заменим \( a \) на некоторое целое число и найдем корни этого уравнения с помощью квадратного трехчлена.

Используя формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a, b \) и \( c \) - коэффициенты уравнения, и формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

7. Подставим \( a^2 = 1, a = 1, b = -1, c = -7 \) в формулу дискриминанта:

\[ D = (-1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29 \]

8. Так как дискриминант \( D = 29 \), уравнение имеет два корня. Рассмотрим их значения:

\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{29}}{2(1)} = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \]
\[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{29}}{2(1)} = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \]

9. Мы видим, что значения \( x_1 \) и \( x_2 \) положительные, так как они больше нуля. Теперь обратимся к вопросу о наибольшем целом числе, которое может быть корнем данного уравнения. Мы можем просто взять наибольшее целое число, меньшее, чем оба корня \( x_1 \) и \( x_2 \). Таким образом, наибольшим целым числом, которое может быть корнем данного уравнения, будет:

\[ \text{Наибольше целое число} = \lfloor x_2 \rfloor = \lfloor \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \rfloor \]

Вычислим значение этого выражения:

\[ \lfloor \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \rfloor \approx -3 \]

Таким образом, наибольшим целым числом, которое может быть корнем данного уравнения, при условии, что оба корня меньше нуля, является -3.