Какое наибольшее целое число представляет длину меньшего катета прямоугольного треугольника, если один из катетов вдвое

Петровна

44

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Пусть длина меньшего катета будет обозначена как \(x\). У нас есть два условия - один из катетов вдвое больше другого и гипотенуза не превышает некоторого значения.

Исходя из первого условия, другой катет будет иметь длину \(2x\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для решения задачи. Для прямоугольного треугольника прямая сторона (гипотенуза) соединена с двумя другими сторонами под прямым углом. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[x^2 + (2x)^2 = c^2,\]

где \(c\) - гипотенуза.

Раскроем скобки:

\[x^2 + 4x^2 = c^2.\]

Упростим:

\[5x^2 = c^2.\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. Нам требуется найти максимально возможное значение длины меньшего катета, при котором гипотенуза не превышает некоторого значения. Давайте обозначим это значение как \(h\).

Используя данное условие, мы можем записать неравенство:

\[c \leq h.\]

Мы избавимся от избыточной информации, возводя оба выражения в квадрат:

\[c^2 \leq h^2.\]

Подставим полученное неравенство в предыдущее выражение:

\[5x^2 \leq h^2.\]

Если мы найдем максимально возможное значение \(x\), удовлетворяющее неравенству, то это будет наибольшее целое число, представляющее длину меньшего катета.

Для решения этого неравенства, найдём \(h^2\):

\[h^2 = 5x^2.\]

Теперь избавимся от квадратного корня, взяв квадратный корень от обеих частей:

\[h = \sqrt{5x^2}.\]

Теперь у нас есть выражение для гипотенузы, больше которой она не должна быть. Чтобы найти наибольшее целое значение для \(x\), мы должны найти наибольшее целое значение для \(\sqrt{5x^2}\), которое составляет не более \(h\).

Более формально, в нашем случае \(\sqrt{5x^2}\) должно быть меньше или равно \(h\).

Из этого неравенства мы можем найти максимальное значение для \(x\):

\[\sqrt{5x^2} \leq h.\]

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\[5x^2 \leq h^2.\]

Мы видим, что это та же форма неравенства, которая у нас уже была! Значит, решение будет такое же: максимально возможное значение для \(x\) будет удовлетворять неравенству \(5x^2 \leq h^2\).

Таким образом, чтобы найти максимальное значение для \(x\) при заданном неравенстве, мы должны прокрутить значение \(h\) вниз, пока неравенство не перестанет выполняться. Как только неравенство перестанет выполняться, последнее значение \(h\) будет иметь длину меньшего катета в прямоугольном треугольнике.