Какое наибольшее число может быть из пяти натуральных чисел, если все возможные попарные суммы этих чисел равны

Misticheskiy_Drakon

20

Для решения этой задачи нам потребуется система уравнений. Обозначим пяти натуральные числа, которые мы ищем, как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

Поскольку мы знаем, что все возможные попарные суммы этих чисел равны 35, 46 и 57, мы можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
a + b &= 35 \\
a + c &= 46 \\
a + d &= 57 \\
b + c &= 46 \\
b + d &= 57 \\
c + d &= 35 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

1) Начнем с уравнения \(a+b=35\). Выразим одну переменную через другую:

\[
a = 35 - b
\]

2) Подставим это значение во второе уравнение:

\[
35 - b + c = 46
\]

Упростим это уравнение:

\[
c = 11 + b
\]

3) Подставим значения \(a = 35 - b\) и \(c = 11 + b\) в третье уравнение:

\[
35 - b + d = 57
\]

Упростим это уравнение:

\[
d = 22 + b
\]

4) У нас осталось две неизвестных: \(b\) и \(e\). Подставим полученные значения \(c = 11 + b\) и \(d = 22 + b\) в пятые и шестое уравнения:

\[
b + (11 + b) = 46
\]

\[
2b + 11 = 46
\]

Решим это уравнение для \(b\):

\[
2b = 46 - 11
\]

\[
2b = 35
\]

\[
b = 17,5
\]

Так как \(b\) должно быть натуральным числом, решение не подходит.

Это значит, что нет набора пяти натуральных чисел, для которых все попарные суммы равны 35, 46 и 57.