Какое наибольшее количество точек пересечения можно получить, если имеется n прямых?

Савелий

66

Для решения этой задачи давайте рассмотрим простую систему прямых и постепенно добавлять к ней новые прямые, чтобы найти закономерность.

Пусть у нас есть первая прямая. Очевидно, что она не пересекает других прямых, поэтому количество точек пересечения равно нулю.

Теперь добавим вторую прямую. Она может пересекать первую прямую только в одной точке, поэтому количество точек пересечения равно одному.

При добавлении третьей прямой возможны несколько вариантов ее расположения. Возможны следующие варианты:

- Если третья прямая не пересекает никакие из двух предыдущих, то количество точек пересечения остается равным одному.
- Если третья прямая пересекает первую прямую в одной точке, но не пересекает вторую прямую, или наоборот, то количество точек пересечения равно двум.
- Если третья прямая пересекает обе предыдущие прямые, то количество точек пересечения равно трем.

При добавлении четвертой прямой также возможны несколько вариантов:

- Четвертая прямая не пересекает никакие из трех предыдущих, поэтому количество точек пересечения остается равным трем.
- Четвертая прямая пересекает только одну из трех предыдущих, тогда количество точек пересечения будет равно четырем.
- Четвертая прямая пересекает две из трех предыдущих, тогда количество точек пересечения будет равно пяти.
- Четвертая прямая пересекает все три предыдущие, тогда количество точек пересечения становится равным шести.

Аналогичным образом мы можем продолжать далее и составить таблицу с количеством точек пересечения в зависимости от количества прямых:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Количество прямых (n)} & \text{Количество точек пересечения} \\
\hline
1 & 0 \\
2 & 1 \\
3 & 3 \\
4 & 6 \\
5 & 10 \\
6 & 15 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что количество точек пересечения равно сумме первых \(n-1\) чисел из ряда натуральных чисел. Это связано с тем, что каждая новая прямая может пересечь все предыдущие прямые в \(n-1\) точках.

Таким образом, ответ на задачу будет: наибольшее количество точек пересечения можно получить, если имеется \(n\) прямых, равное \(\frac{{(n-1) \cdot n}}{2}\).