Каков коэффициент, умножающийся на a4 b6, в разложении бинома (a+b)^10?

Semen

34

Чтобы найти коэффициент, умножающийся на \(a^4 b^6\) в разложении бинома \((a+b)^{10}\), нам понадобится формула Бинома Ньютона.

Формула Бинома Ньютона гласит:

\[(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент и вычисляется по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, нам нужно найти коэффициент при \(a^4 b^6\). Это означает, что \(a\) должен быть возведен в степень 4, а \(b\) - в степень 6, а все остальные \(a\)"s и \(b\)"s в разложении должны быть в степени меньше.

Теперь применим формулу Бинома Ньютона для нашего случая. У нас \(n = 10\), \(k = 6\):

\((a+b)^{10} = \binom{10}{0} a^{10} b^0 + \binom{10}{1} a^9 b^1 + \binom{10}{2} a^8 b^2 + \ldots + \binom{10}{6} a^4 b^6 + \ldots + \binom{10}{10} a^0 b^{10}\)

Рассмотрим только член, содержащий \(a^4 b^6\), то есть член с биномиальным коэффициентом \(\binom{10}{6}\):

\(\binom{10}{6} a^4 b^6\)

Теперь остается только вычислить значение биномиального коэффициента:

\(\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\)

Поэтому коэффициент, умножающийся на \(a^4 b^6\) в разложении бинома \((a+b)^{10}\), равен 210.