Какое наибольшее значение может иметь произведение xy, если известно, что 2x + y = 6 и x

Volshebnik

22

Чтобы найти наибольшее значение произведения \(xy\) при условии \(2x + y = 6\) и \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\), мы можем использовать метод подстановки или метод нахождения экстремума. Давайте попробуем использовать метод подстановки.

Изначально у нас есть уравнение \(2x + y = 6\). Давайте выразим переменную \(y\) через \(x\): \(y = 6 - 2x\).

Теперь подставим это в выражение для произведения \(xy\):

\[P = x(6 - 2x)\]

Распределим \(x\) внутри скобок:

\[P = 6x - 2x^2\]

Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции. Для этого мы можем применить технику дифференцирования и приравнять производную к нулю, чтобы найти критическую точку.

Дифференцируем функцию \(P\) по \(x\):

\[P" = 6 - 4x\]

Приравняем \(P"\) к нулю и решим уравнение:

\[6 - 4x = 0\]

\[4x = 6\]

\[x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]

Теперь мы знаем, что критическая точка \(x = \frac{3}{2}\). Чтобы убедиться, что это действительно максимум, давайте возьмем вторую производную и проверим ее знак:

\[P"" = -4\]

Так как вторая производная отрицательна, мы можем заключить, что у нас есть максимум.

Теперь найдем соответствующее значение \(y\) по \(y = 6 - 2x\):

\[y = 6 - 2\left(\frac{3}{2}\right) = 6 - 3 = 3\]

Таким образом, когда \(x = \frac{3}{2}\), значение \(y\) будет равно 3.

Теперь найдем значение произведения \(xy\):

\[P = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5\]

Наибольшее значение произведения \(xy\) равно 4.5, когда \(x = \frac{3}{2}\) и \(y = 3\).

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал метод подстановки и дифференцирование, чтобы найти максимальное значение произведения \(xy\) при заданных условиях. Это более сложный способ решения, и у школьника, возможно, нет таких навыков. Но я постарался предоставить максимально подробный и обстоятельный ответ, чтобы объяснить процесс решения проблемы.