Какое наименьшее количество чисел могло быть указано на доске, если среди них есть различные и для каждого

Siren

39

Давайте рассмотрим эту задачу более подробно.

Пусть на доске указано \(n\) чисел, среди которых есть различные числа. Для каждого из этих чисел существуют еще 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно этому числу.

Если мы возьмем каждое из этих 2020 чисел и найдем их среднее арифметическое, то это среднее арифметическое будет равно числу, которое указано на доске. Так как у нас есть 2020 чисел для каждого числа на доске, то у нас будет 2020 средних арифметических для каждого числа на доске.

Теперь давайте предположим, что на доске указано минимальное количество чисел. Для числа \(x\) на доске существуют еще 2020 чисел среднее арифметическое которых равно \(x\). Предположим, что есть число \(y\) на доске, которое не равно \(x\), но для которого также существуют 2020 чисел, среднее арифметическое которых также равно \(x\). То есть, есть несколько чисел на доске, которые имеют одно и то же среднее арифметическое.

Теперь давайте найдем среднее арифметическое всех 2020 чисел для числа \(x\): \[S_x = \frac{1}{2020}(x + x + x + \ldots + x) = x.\]
Таким образом, среднее арифметическое для числа \(x\) равно самому числу \(x\).

Таким образом, если на доске указано минимальное количество чисел, то все числа на доске должны быть равны между собой и равны среднему арифметическому этих чисел.

Давайте найдем наименьшее количество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Поскольку нам нужно найти наименьшее количество чисел, мы можем начать с самого маленького числа и увеличивать его по возрастанию. Пусть этим числом будет 1.

Если на доске указано только одно число \(x = 1\), то нам необходимо найти еще 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно 1. Мы можем выбрать 2020 чисел равных 1, и их среднее арифметическое будет 1.

Но в нашем условии указано, что среди чисел на доске должны быть различные числа. Таким образом, если на доске указано только одно число, это не удовлетворяет требованию задачи.

Теперь давайте рассмотрим два числа на доске: 1 и 2.

Для числа 1 нам нужно найти еще 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно 1. Как мы уже говорили, мы можем выбрать 2020 чисел равных 1, и их среднее арифметическое будет 1.

Для числа 2 нам нужно найти еще 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно 2. Мы можем выбрать 2020 чисел равных 2, и их среднее арифметическое будет 2.

Следовательно, если на доске указано два числа: 1 и 2, то это удовлетворяет требованию задачи. Для каждого числа на доске у нас есть 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно этому числу.

То есть, минимальное количество чисел, которое может быть указано на доске, равно 2.