Какое наименьшее количество чисел могло быть записано на доске, если среди них есть различные числа и для каждого числа

Андреевич

9

Давайте взглянем на условие задачи.

У нас есть некоторое количество чисел, записанных на доске. Для каждого числа находим 2020 других чисел, среднее арифметическое которых равно этому числу. Нам нужно определить минимальное количество чисел, которое могло быть записано на доске.

Для решения этой задачи давайте будем действовать пошагово.

Шаг 1: Создание формулы для среднего арифметического
Пускай у нас есть число \(x\), для которого мы ищем 2020 других чисел со средним арифметическим равным \(x\). Мы можем записать формулу для среднего арифметического следующим образом:

\[\frac{{a_1 + a_2 + \ldots + a_{2020}}}{{2020}} = x\]

где \(a_1, a_2, \ldots , a_{2020}\) -- это 2020 других чисел.

Шаг 2: Сумма чисел
У нас есть формула для среднего арифметического. Теперь давайте выполним некоторые алгебраические действия для нахождения суммы 2020 чисел. Умножим обе части уравнения на 2020:

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_{2020} = 2020x\]

Таким образом, сумма 2020 чисел равна произведению \(2020x\).

Шаг 3: Сборка всех чисел
Теперь пойдем дальше и будем строить все числа. Предположим, что мы имеем \(k\) чисел на доске. Тогда сумма всех чисел будет:

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_{2020} +\\ b_1 + b_2 + \ldots + b_{2020} +\\ c_1 + c_2 + \ldots + c_{2020} +\\ \ldots +\\ z_1 + z_2 + \ldots + z_{2020} = k \cdot 2020x\]

где \(b_1, b_2, \ldots , b_{2020}\) -- это 2020 чисел для второго числа, \(c_1, c_2, \ldots , c_{2020}\) -- это 2020 чисел для третьего числа, и так далее до \(z_1, z_2, \ldots , z_{2020}\) -- это 2020 чисел для \(k\)-ого числа.

Шаг 4: Решение задачи
Мы получили уравнение для суммы всех чисел на доске в терминах переменной \(k\). Теперь давайте найдем минимальное значение \(k\), при котором это уравнение будет выполняться.

Заметим, что каждое слагаемое в уравнении учитывает 2020 чисел. Значит, чтобы минимизировать количество чисел на доске, мы должны минимизировать количество слагаемых. Минимальное значение \(k\) будет достигаться, когда у нас будет только одно слагаемое. Таким образом, \(k = 1\).

Ответ: Наименьшее количество чисел, которое могло быть записано на доске, равно 1.