Какое наименьшее значение будет у функции y=4^(x^2 -6x+12)?

Матвей

39

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти наименьшее значение функции \(y = 4^{(x^2 - 6x + 12)}\). Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем вершину параболы
На начальном этапе нам необходимо найти вершину параболы, чтобы определить, будет ли это минимум или максимум функции. Формула для нахождения вершины параболы имеет вид \((h,k)\), где \(h\) и \(k\) являются координатами вершины.

Чтобы найти \(h\), нужно использовать формулу \(h = \frac{-b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты параболической функции \(ax^2 + bx + c\). В данном случае коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 12\).

Вычислим \(h\):
\[h = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\]

Теперь найдем \(k\). Подставим значение \(x\) вершины параболы в нашу функцию:
\[k = 4^{(3^2 - 6 \cdot 3 + 12)}\]

Выполним вычисления в скобках:
\[k = 4^{(9 - 18 + 12)} = 4^{3}\]

Вычислите значения степени:
\[k = 64\]

Итак, вершина параболы находится в точке \((3, 64)\).

Шаг 2: Определение наименьшего значения

Поскольку коэффициент \(a\) в нашей функции \(y = 4^{(x^2 - 6x + 12)}\) положительный (равен 1), это означает, что парабола открывается вверх. То есть, она имеет минимальное значение в точке вершины.

Следовательно, наименьшее значение функции - это значение \(k\), которое мы уже нашли. Таким образом, наименьшее значение функции \(y=4^{(x^2 -6x+12)}\) составляет 64.

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти наименьшее значение данной функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!