Какое наименьшее значение можно получить для суммы a+b+c, если известно, что выражение ab+bc+ac больше или равно a+b+c

Son

48

Данная задача направлена на определение наименьшего возможного значения для суммы \(a+b+c\), при условии, что выражение \(ab+bc+ac\) больше или равно \(a+b+c\) и больше нуля.

Давайте изначально предположим, что все переменные \(a\), \(b\) и \(c\) являются положительными числами. Иначе говоря, мы рассматриваем положительные значения для всех переменных.

Мы можем предположить, что \(a+b+c\) имеет наименьшее возможное значение при условии, что \(a\), \(b\) и \(c\) равны друг другу, так как методом проб и ошибок получается наименьшее значение. Давайте это проверим:

Пусть \(a=b=c=k\) для некоторого положительного значения \(k\). Тогда выражение \(ab+bc+ac\) примет вид \(k^2+k^2+k^2\), что равносильно \(3k^2\). Также, сумма \(a+b+c\) представит собой \(3k\).

Согласно условию задачи, \(ab+bc+ac\) должно быть больше или равно \(a+b+c\):

\[3k^2 \geq 3k\]

Так как мы предположили, что все переменные положительны, то мы можем сократить на \(3\) и получить:

\[k^2 \geq k\]

Разделим обе части неравенства на \(k\) (поскольку \(k > 0\)):

\[k \geq 1\]

Значит, наше предположение справедливо, и наименьшее значение для суммы \(a+b+c\) будет достигаться, когда все переменные равны друг другу и каждая равна \(1\).

Таким образом, наименьшее значение суммы \(a+b+c\) равно \(1+1+1=3\).

Важно отметить, что данное решение основано на предположении, что все переменные положительные. Если разрешены нулевые значения или отрицательные значения переменных, то решение будет иным.