Какое наименьшее значение можно получить для выражения 2а+b, если известно, что аb=8 и b больше нуля?

Шарик

63

Для решения данной задачи, нам дано уравнение \(ab=8\) и условие, что \(b\) больше нуля. Наша задача состоит в определении наименьшего значения выражения \(2a+b\).

Давайте пошагово решим эту задачу:

1. Исходное уравнение \(ab=8\) можно записать в виде \(a=\frac{8}{b}\).

2. Теперь заменим \(a\) в выражении \(2a+b\):

\(2\left(\frac{8}{b}\right) + b\).

3. Необходимо минимизировать это выражение. Для этого обратим внимание на знак функции, которая описывает это выражение. Здесь нам понадобится частная производная.

4. Производная этой функции будет равна:
\(\frac{d}{db}\left(2\left(\frac{8}{b}\right) + b\right) = 2\left(\frac{-8}{{b^2}}\right) + 1\).

5. Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\(2\left(\frac{-8}{{b^2}}\right) + 1 = 0\).

6. Решая это уравнение, мы найдем значения \(b\) и применим условие, что \(b\) должно быть больше нуля.

7. Зная значения \(b\), мы сможем найти соответствующее значение \(a\) по формуле \(a=\frac{8}{b}\).

8. Теперь поместим найденные значения \(a\) и \(b\) в исходное выражение \(2a+b\) и вычислим наименьшее значение.

Итак, пошаговое решение позволяет нам выделить основные шаги для решения этой задачи.