Какое наименьшее значение принимает функция y=x^2+256/x на интервале [1;25]?

Zvezda

36

Чтобы найти наименьшее значение функции y=x^2+256/x на интервале [1;25], мы должны проанализировать ее поведение на данном интервале. Первым шагом я предлагаю найти производную функции и исследовать ее поведение.

Производная функции y=x^2+256/x найдется путем применения правила дифференцирования суммы и правила дифференцирования частного. Таким образом, имеем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - \frac{{256}}{{x^2}}
\]

Теперь рассмотрим точки, где производная равна 0 или не существует. Решим уравнение:

\[
2x - \frac{{256}}{{x^2}} = 0
\]

Умножая оба члена уравнения на \(x^2\), получим:

\[
2x^3 - 256 = 0
\]

Теперь найдем корень этого уравнения:

\[
x^3 = 128 \\
x = \sqrt[3]{128} \\
x = 4
\]

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x=4.

Теперь исследуем поведение функции на интервале [1;25].

Построим таблицу значений, подставляя разные значения x в исходную функцию:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
1 & 257 \\
2 & 264 \\
3 & 293.33 \\
4 & 528 \\
5 & 441.6 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что наименьшее значение функции принимается при x=1 и равно 257. При этом значение функции при x=25 составляет 441.6.

Таким образом, наименьшее значение функции y=x^2+256/x на интервале [1;25] равно 257 и достигается при x=1.