Какое направление и каков модуль электрического поля в точке, где находится тонкая нить в форме четверти кольца радиуса

Светлячок

43

Когда мы рассматриваем электрическое поле, создаваемое тонкой нитью в форме четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом, мы можем использовать закон Кулона и принцип суперпозиции, чтобы решить эту задачу.

Для начала, определим направление электрического поля. Предположим, что тонкая нить находится в плоскости XY, а точка, в которой мы хотим найти поле, находится на расстоянии z над плоскостью. Тогда поле будет направлено в направлении оси Z.

Теперь давайте рассмотрим модуль электрического поля, создаваемого малым элементом заряда dQ на нити. Мы можем использовать закон Кулона для определения величины поля, создаваемого этим элементом заряда в данной точке. Закон Кулона утверждает, что модуль поля, создаваемого элементом заряда, пропорционален величине заряда и обратно пропорционален расстоянию между элементом заряда и точкой наблюдения.

Мы знаем, что заряд q на всей нити равномерно распределен. Для удобства, мы можем разделить нить на малые элементы заряда dQ и выразить известную величину заряда q в терминах длины дуги нити dl.

Для элемента заряда dQ, создаваемого элементом длины dl, мы можем записать следующее:

\[dQ = \frac{q}{2\pi R} dl\]

где R - радиус четверти кольца, q - общий заряд на нити, а dl - малый элемент длины.

Теперь, применяя закон Кулона, поле, создаваемое элементом заряда dQ в точке наблюдения, будет иметь модуль, определенный следующим образом:

\[dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dQ}{r^2}\]

где dE - модуль поля, dQ - элемент заряда, r - расстояние между элементом заряда и точкой наблюдения, а \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная.

Теперь, чтобы найти поле в данной точке, мы должны просуммировать поля, создаваемые всеми элементами заряда на нити. Мы интегрируем рассчитанный элемент поля \(dE\) от 0 до R по длине дуги нити.

\[E = \int dE = \int_0^R \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dQ}{r^2}\]

Чтобы продолжить решение, нам понадобится также учитывать геометрию задачи.

Определим элементарную длину дуги нити \(dl\). Для этого мы можем использовать радиус R и угол дуги \(d\phi\), чтобы вычислить длину малого элемента.

\[dl = R d\phi\]

Кроме того, мы можем найти расстояние \(r\) между элементом заряда и точкой наблюдения, используя геометрическое соображение по теореме Пифагора. Расстояние \(r\) можно выразить как:

\[r = \sqrt{R^2 + z^2}\]

Теперь, заменив \(dQ\) в интеграле на \(dl\) и \(r\) на \(\sqrt{R^2 + z^2}\), мы можем записать интеграл для поля \(E\) следующим образом:

\[E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^R \frac{q}{2\pi R} \frac{Rd\phi}{(R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{2\pi} \int_0^R \frac{d\phi}{(R^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\]

Интегрируя это выражение, мы получим конечное выражение для поля \(E\) в данной точке:

\[E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{2\pi} \left(\frac{1}{\sqrt{R^2 + z^2}} - \frac{1}{R}\right)\]

Таким образом, направленное вдоль оси Z поле от четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом в точке (0, 0, z) равно

\[E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{2\pi} \left(\frac{1}{\sqrt{R^2 + z^2}} - \frac{1}{R}\right)\]

После этого можно продемонстрировать шаги решения конкретной задачи, используя численные значения для q, R и z и вычислить окончательное значение поля E.