Какое направление и каков модуль электрического поля в точке, где находится тонкая нить в форме четверти кольца радиуса

Светлячок

43

Когда мы рассматриваем электрическое поле, создаваемое тонкой нитью в форме четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом, мы можем использовать закон Кулона и принцип суперпозиции, чтобы решить эту задачу.

Для начала, определим направление электрического поля. Предположим, что тонкая нить находится в плоскости XY, а точка, в которой мы хотим найти поле, находится на расстоянии z над плоскостью. Тогда поле будет направлено в направлении оси Z.

Теперь давайте рассмотрим модуль электрического поля, создаваемого малым элементом заряда dQ на нити. Мы можем использовать закон Кулона для определения величины поля, создаваемого этим элементом заряда в данной точке. Закон Кулона утверждает, что модуль поля, создаваемого элементом заряда, пропорционален величине заряда и обратно пропорционален расстоянию между элементом заряда и точкой наблюдения.

Мы знаем, что заряд q на всей нити равномерно распределен. Для удобства, мы можем разделить нить на малые элементы заряда dQ и выразить известную величину заряда q в терминах длины дуги нити dl.

Для элемента заряда dQ, создаваемого элементом длины dl, мы можем записать следующее:

$$dQ=\frac{q}{2\pi R}dl$$

где R - радиус четверти кольца, q - общий заряд на нити, а dl - малый элемент длины.

Теперь, применяя закон Кулона, поле, создаваемое элементом заряда dQ в точке наблюдения, будет иметь модуль, определенный следующим образом:

$$dE=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{dQ}{r^2}$$

где dE - модуль поля, dQ - элемент заряда, r - расстояние между элементом заряда и точкой наблюдения, а ${ϵ}_0$ - электрическая постоянная.

Теперь, чтобы найти поле в данной точке, мы должны просуммировать поля, создаваемые всеми элементами заряда на нити. Мы интегрируем рассчитанный элемент поля $dE$ от 0 до R по длине дуги нити.

$$E=\int dE={\int }_0^R\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{dQ}{r^2}$$

Чтобы продолжить решение, нам понадобится также учитывать геометрию задачи.

Определим элементарную длину дуги нити $dl$. Для этого мы можем использовать радиус R и угол дуги $d\varphi$, чтобы вычислить длину малого элемента.

$$dl=Rd\varphi$$

Кроме того, мы можем найти расстояние $r$ между элементом заряда и точкой наблюдения, используя геометрическое соображение по теореме Пифагора. Расстояние $r$ можно выразить как:

$$r=\sqrt{R^2+z^2}$$

Теперь, заменив $dQ$ в интеграле на $dl$ и $r$ на $\sqrt{R^2+z^2}$, мы можем записать интеграл для поля $E$ следующим образом:

$$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_0^R\frac{q}{2\pi R}\frac{Rd\varphi }{(R^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{2\pi }{\int }_0^R\frac{d\varphi }{(R^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$

Интегрируя это выражение, мы получим конечное выражение для поля $E$ в данной точке:

$$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{2\pi }(\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}-\frac{1}{R})$$

Таким образом, направленное вдоль оси Z поле от четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом в точке (0, 0, z) равно

$$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{2\pi }(\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}-\frac{1}{R})$$

После этого можно продемонстрировать шаги решения конкретной задачи, используя численные значения для q, R и z и вычислить окончательное значение поля E.