Какое направление и каков модуль электрического поля в точке, где находится тонкая нить в форме четверти кольца радиуса

  • 4
Какое направление и каков модуль электрического поля в точке, где находится тонкая нить в форме четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом q?
Светлячок
43
Когда мы рассматриваем электрическое поле, создаваемое тонкой нитью в форме четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом, мы можем использовать закон Кулона и принцип суперпозиции, чтобы решить эту задачу.

Для начала, определим направление электрического поля. Предположим, что тонкая нить находится в плоскости XY, а точка, в которой мы хотим найти поле, находится на расстоянии z над плоскостью. Тогда поле будет направлено в направлении оси Z.

Теперь давайте рассмотрим модуль электрического поля, создаваемого малым элементом заряда dQ на нити. Мы можем использовать закон Кулона для определения величины поля, создаваемого этим элементом заряда в данной точке. Закон Кулона утверждает, что модуль поля, создаваемого элементом заряда, пропорционален величине заряда и обратно пропорционален расстоянию между элементом заряда и точкой наблюдения.

Мы знаем, что заряд q на всей нити равномерно распределен. Для удобства, мы можем разделить нить на малые элементы заряда dQ и выразить известную величину заряда q в терминах длины дуги нити dl.

Для элемента заряда dQ, создаваемого элементом длины dl, мы можем записать следующее:

dQ=q2πRdl

где R - радиус четверти кольца, q - общий заряд на нити, а dl - малый элемент длины.

Теперь, применяя закон Кулона, поле, создаваемое элементом заряда dQ в точке наблюдения, будет иметь модуль, определенный следующим образом:

dE=14πϵ0dQr2

где dE - модуль поля, dQ - элемент заряда, r - расстояние между элементом заряда и точкой наблюдения, а ϵ0 - электрическая постоянная.

Теперь, чтобы найти поле в данной точке, мы должны просуммировать поля, создаваемые всеми элементами заряда на нити. Мы интегрируем рассчитанный элемент поля dE от 0 до R по длине дуги нити.

E=dE=0R14πϵ0dQr2

Чтобы продолжить решение, нам понадобится также учитывать геометрию задачи.

Определим элементарную длину дуги нити dl. Для этого мы можем использовать радиус R и угол дуги dϕ, чтобы вычислить длину малого элемента.

dl=Rdϕ

Кроме того, мы можем найти расстояние r между элементом заряда и точкой наблюдения, используя геометрическое соображение по теореме Пифагора. Расстояние r можно выразить как:

r=R2+z2

Теперь, заменив dQ в интеграле на dl и r на R2+z2, мы можем записать интеграл для поля E следующим образом:

E=14πϵ00Rq2πRRdϕ(R2+z2)32=14πϵ0q2π0Rdϕ(R2+z2)32

Интегрируя это выражение, мы получим конечное выражение для поля E в данной точке:

E=14πϵ0q2π(1R2+z21R)

Таким образом, направленное вдоль оси Z поле от четверти кольца радиуса R с равномерным зарядом в точке (0, 0, z) равно

E=14πϵ0q2π(1R2+z21R)

После этого можно продемонстрировать шаги решения конкретной задачи, используя численные значения для q, R и z и вычислить окончательное значение поля E.