Какое неравенство не имеет решений: 1. x^2 - 4x - 14 < 0 2. x^2 - 4x - 14 > 0 3. x^2 - 4x + 14 < 0 4. x^2 + 4x + 14

Valentin

50

Чтобы определить, какое из данных неравенств не имеет решений, нам нужно проанализировать их математические свойства. Давайте рассмотрим каждое из них по очереди:

1. \(x^2 - 4x - 14 < 0\)
Для начала определим, когда квадратное уравнение \(x^2 - 4x - 14\) равно нулю, так как эта точка будет выступать в качестве границы для решений неравенства. Решим уравнение следующим образом:
\(x^2 - 4x - 14 = 0\)

Для решения это уравнения мы можем воспользоваться формулой квадратного корня:
\(x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}}}{{2 \cdot 1}}\)
\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 + 56}}}}{{2}}\)
\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{{72}}}}{{2}}\)
\(x = \frac{{4 \pm 6\sqrt{{2}}}}{{2}}\)
\(x = 2 \pm 3\sqrt{{2}}\)

Таким образом, получаем два корня уравнения: \(x_1 = 2 + 3\sqrt{{2}}\) и \(x_2 = 2 - 3\sqrt{{2}}\).

Когда решаемся неравенство \(x^2 - 4x - 14 < 0\), мы ищем значения \(x\), которые находятся между корнями уравнения. Если мы проверим значения \(-\infty < x < 2 - 3\sqrt{{2}}\) и \(2 + 3\sqrt{{2}} < x < +\infty\), мы увидим, что неравенство \(x^2 - 4x - 14\) всегда отрицательное. То есть оно будет истинным для всех значений \(x\), находящихся между корнями. Следовательно, неравенство \(x^2 - 4x - 14 < 0\) имеет решения для всех значений \(x\).

2. \(x^2 - 4x - 14 > 0\)
Снова используем полученные корни \(x_1\) и \(x_2\) и проведем аналогичный анализ для данного неравенства. Если мы проверим значения \(-\infty < x < 2 - 3\sqrt{{2}}\) и \(2 + 3\sqrt{{2}} < x < +\infty\), неравенство \(x^2 - 4x - 14\) будет всегда положительным. Это означает, что неравенство \(x^2 - 4x - 14 > 0\) также имеет решения для всех значений \(x\).

3. \(x^2 - 4x + 14 < 0\)
Аналогично проведем анализ для данного неравенства. Для этого найдем точку, где \(x^2 - 4x + 14\) равно нулю. Решим уравнение:
\(x^2 - 4x + 14 = 0\)

Используя формулу квадратного корня, получим:
\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{{4 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}}}{{2 \cdot 1}}\)
\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{{4 - 56}}}}{{2}}\)
\(x = \frac{{4 \pm \sqrt{{-52}}}}{{2}}\)
\(x = \frac{{4 \pm 2i\sqrt{{13}}}}{{2}}\)
\(x = 2 \pm i\sqrt{{13}}\)

Но поскольку мы рассматриваем только действительные значения \(x\), а не комплексные, уравнение \(x^2 - 4x + 14 = 0\) не имеет действительных корней. Таким образом, все значения \(x\) удовлетворяют неравенству \(x^2 - 4x + 14 < 0\) и следовательно, оно также имеет решения для всех значений \(x\).

4. \(x^2 + 4x\)
Здесь мы не указали знак неравенства, поэтому не можем однозначно сказать, равно ли \(x^2 + 4x\) нулю. Если мы хотим определить, когда это уравнение равно нулю, мы можем решить его следующим образом:
\(x^2 + 4x = 0\)
\(x(x + 4) = 0\)
Получаем два корня: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -4\).

Однако, учитывая, что в данной задаче нет знака неравенства, мы не можем сказать, что \(x^2 + 4x\) какое-либо из четырех. Если нам необходим дополнительный контекст или указание для этой задачи, чтобы определить, какую информацию о \(x^2 + 4x\) нужно, например, мы можем увидеть, что равно \(x^2 + 4x\).

Итак, из представленных неравенств ни одно из них не имеет решений, так как все они имеют решения для всех значений \(x\), кроме \(x^2 + 4x\), который не был однозначно указан.