Какое отношение имеет кинетическая энергия электрона на первой орбите кинетической энергии электрона на n-ой орбите

Поющий_Хомяк

47

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о модели Бора, которая описывает структуру атома водорода. Согласно модели Бора, электроны движутся по круговым орбитам вокруг ядра.

Кинетическая энергия электрона на орбите может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[E_k = \dfrac{1}{2} mv^2\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса электрона и \(v\) - его скорость.

Первым шагом нам нужно определить формулу для радиуса орбиты \(r_n\), где n - номер орбиты. Согласно формуле Бора, радиус орбиты можно вычислить по формуле:

\[r_n = \dfrac{0.529 \cdot n^2}{Z}\]

где \(r_n\) - радиус орбиты, \(n\) - номер орбиты и \(Z\) - атомный номер (для водорода \(Z = 1\)).

Теперь, если мы знаем радиус орбиты, мы можем вычислить скорость электрона на этой орбите. Скорость электрона может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[v_n = \dfrac{2\pi \cdot r_n}{T_n}\]

где \(v_n\) - скорость электрона, \(r_n\) - радиус орбиты и \(T_n\) - период обращения.

Но так как нам не дана информация о периоде обращения, мы можем воспользоваться фактом, что для всех орбит время обращения одинаково:

\[T = \dfrac{2\pi r_n}{v_n}\]

Теперь мы готовы вычислить кинетическую энергию. Выражение для угловой скорости \(\omega\) может быть получено следующим образом:

\[\omega = \dfrac{v_n}{r_n}\]

Затем, используя формулу для момента инерции \(I\) и угловой скорости \(\omega\), мы можем выразить момент инерции:

\[I = m \cdot r_n^2 \cdot \omega\]

Теперь, с помощью момента инерции \(I\), угловой скорости \(\omega\) и кинетической энергии \(E_k\), мы можем построить следующую связь:

\[E_k = \dfrac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2\]

Таким образом, мы получаем:

\[E_k \propto r_n^2 \cdot \omega^2\]

Так как формула для радиуса \(r_n\) имеет зависимость от квадрата номера орбиты \(n^2\), и угловая скорость \(\omega\) также имеет зависимость от радиуса \(r_n\), то мы можем заключить, что:

\[E_k \propto n^2\]

Таким образом, отношение кинетической энергии электрона на первой орбите к кинетической энергии электрона на \(n\)-ой орбите для атома водорода равно:

\[\dfrac{E_{k1}}{E_{kn}} = \dfrac{n_1^2}{n^2}\]

Где \(n_1\) - номер первой орбиты, \(n\) - номер \(n\)-ой орбиты.

Таким образом, это отношение пропорционально квадрату номера орбиты. Чем больше номер орбиты, тем больше отношение кинетической энергии на этой орбите к кинетической энергии на первой орбите.