Какое отношение объема шарового сегмента к объему шара, если высота шарового сегмента равна одной трети его диаметра?

Морской_Шторм_568

19

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема шара и шарового сегмента. Начнем с формулы для объема шара:

\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

где \( V_{\text{шара}} \) - объем шара, \( r \) - радиус шара, и \( \pi \) - математическая постоянная, примерное значение которой равно 3.14159.

Теперь перейдем к шаровому сегменту. Объем шарового сегмента можно выразить через радиус \( R \), высоту \( h \) и угол раствора \( \theta \) с помощью формулы:

\[ V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi h^2 (3R - h) \]

В данной задаче нам дано, что высота шарового сегмента равна одной трети его диаметра. Поскольку диаметр шара равен удвоенному радиусу, исходя из этого условия, мы можем выразить высоту \( h \) через радиус \( r \) следующим образом:

\[ h = \frac{1}{3} \cdot 2r \]
\[ h = \frac{2}{3} r \]

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для объема шарового сегмента:

\[ V_{\text{{сегмента}}} = \frac{1}{6} \pi \left(\frac{2}{3} r\right)^2 \left(3r - \frac{2}{3} r\right) \]
\[ V_{\text{{сегмента}}} = \frac{1}{6} \pi \frac{4}{9} r^2 \cdot \frac{7}{3} r \]
\[ V_{\text{{сегмента}}} = \frac{14}{27} \pi r^3 \]

Итак, отношение объема шарового сегмента к объему шара составляет \( \frac{14}{27} \pi \), где \( \pi \) - математическая постоянная, и \( \frac{14}{27} \) - отношение объема шарового сегмента к объему шара.