Какое расстояние должен пройти шарик, чтобы достичь скорости 4 м/с, если он скатывается с наклонной плоскости

Izumrud

41

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Представим, что начальная потенциальная энергия шарика преобразуется в его кинетическую энергию по мере спуска по наклонной плоскости.

Первоначально шарик находится на высоте \(h_1\) и обладает потенциальной энергией \(E_{\text{п1}}\), равной произведению его массы \(m\) на ускорение свободного падения \(g\) на это расстояние:

\[E_{\text{п1}} = mgh_1\]

Здесь \(g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2\) - ускорение свободного падения.

После расстояния \(x\) шарик достигает скорости \(v\) и находится на высоте \(h_2\). Он приобретает новую потенциальную энергию \(E_{\text{п2}}\) и кинетическую энергию \(E_{\text{к2}}\). Потенциальная энергия на этой высоте равна:

\[E_{\text{п2}} = mgh_2\]

Кинетическая энергия рассчитывается по формуле:

\[E_{\text{к2}} = \frac{1}{2}mv^2\]

Поскольку энергия сохраняется, то сумма потенциальной и кинетической энергий на начальной точке равна сумме этих энергий на конечной точке:

\[E_{\text{п1}} = E_{\text{п2}} + E_{\text{к2}}\]

\[mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv^2\]

Теперь мы можем перейти к выражению для расстояния \(x\) в терминах данных задачи:

\[h_1 - h_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{g}\]

\[x = h_1 - h_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{g}\]

Подставив значения \(h_1 = 0, h_2 = 3 \, \text{м}\), \(v = 4 \, \text{м/с}\) и \(g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2\), мы можем вычислить расстояние \(x\):

\[x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4^2}{9,8} \approx 0,82 \, \text{м}\]

Таким образом, шарику необходимо пройти около 0,82 метра, чтобы достичь скорости 4 м/с.