Какое расстояние должно быть между данным шариком и другим шариком массой 5 нКл, чтобы натяжение нити уменьшилось

Николаевна_3591

16

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Давайте обозначим массу первого шарика как \(m_{1}\), массу второго шарика как \(m_{2}\), и расстояние между ними как \(r\).

Сила притяжения между двумя шариками выражается следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m_{1} \cdot m_{2}}}{{r^{2}}}\]

Где \(G\) - гравитационная постоянная, которую мы примем равной \(6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^{2}/\text{кг}^{2}\).

Если натяжение нити (сила натяжения) уменьшается в два раза, это значит, что сила притяжения должна уменьшиться также в два раза.

Используя эти данные, можно записать следующее уравнение:

\[\frac{{G \cdot m_{1} \cdot m_{2}}}{{r^{2}}} = \frac{{2 \cdot G \cdot m_{1} \cdot m_{2}}}{{(r + x)^{2}}}\]

Где \(x\) - это искомое расстояние между шариками.

Для нахождения \(x\) нужно решить это уравнение относительно \(x\).

Первым шагом упростим уравнение, поделив обе части на \(G \cdot m_{1} \cdot m_{2}\):

\[\frac{1}{{r^{2}}} = \frac{2}{{(r + x)^{2}}}\]

Затем, чтобы избавиться от знаменателей, сделаем замену:

\[a = \frac{1}{r}\]
\[b = \frac{1}{r + x}\]

Теперь уравнение примет вид:

\[a^{2} = 2 \cdot b^{2}\]

Решим это уравнение относительно \(b^{2}\):

\[b^{2} = \frac{1}{2} \cdot a^{2}\]

Теперь найдем значения \(a\) и \(b\):

\[a = \frac{1}{r}\]
\[b = \frac{1}{r + x}\]

Подставим значения \(a\) и \(b\) в полученное выражение:

\[\frac{1}{(r + x)^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{2}}\]

Теперь решим это уравнение относительно \((r + x)^{2}\):

\[(r + x)^{2} = 2 \cdot r^{2}\]

Раскроем скобки:

\[r^{2} + 2rx + x^{2} = 2 \cdot r^{2}\]

Вычтем \(2 \cdot r^{2}\) из обеих частей уравнения:

\[x^{2} + 2rx - r^{2} = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно \(x\). Мы можем решить это уравнение, используя формулу квадратного корня.

\[x = \frac{{-2r \pm \sqrt{(2r)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-r^{2})}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[x = \frac{{-2r \pm \sqrt{4r^{2} + 4r^{2}}}}{{2}}\]

\[x = \frac{{-2r \pm \sqrt{8r^{2}}}}{{2}}\]

\[x = \frac{{-2r \pm 2r\sqrt{2}}}{{2}}\]

\[x = -r \pm r\sqrt{2}\]

Таким образом, расстояние между данным шариком и другим шариком должно быть равным \(x = -r \pm r\sqrt{2}\). Важно отметить, что физический смысл расстояния не может быть отрицательным, поэтому мы должны выбрать положительное значение:

\[x = r\sqrt{2} - r\]

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная разборка помогла вам понять, как получить ответ на задачу. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я буду рад помочь вам!