Какое расстояние между источником света и его изображением в аквариуме получили школьники, если толщина слоя воды

Мандарин

5

Пусть \(x\) - расстояние между источником света и его изображением в аквариуме. Также запишем, что расстояние от светильника до поверхности воды равно \(2x\).

Используем законы геометрии падающего света в воде. Когда свет проходит из воздуха в воду, происходит ломление световых лучей под углом. Закон ломления Снеллиуса позволяет нам найти угол падения и угол преломления.

Поскольку луч света падает на поверхность воды и проходит через нее, то он изменяет свое направление. Формула закона Снеллиуса: \(n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\), где \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления среды, а \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы падения и преломления соответственно.

Воздух и вода имеют разные показатели преломления. Для воздуха \(n_1 = 1\), а для воды \(n_2 = 1.33\) (близкий показатель для обычной воды).

Найдем угол падения светового луча, попадающего на поверхность воды. Обозначим этот угол \(\theta_1\).

Так как световой луч падает перпендикулярно поверхности воды, то \(\theta_1 = 90^\circ\).

Применим закон Снеллиуса: \(n_1 \cdot \sin(90^\circ) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\). Раскроем синусы: \(1 \cdot 1 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2)\).

Найдем значение \(\sin(\theta_2)\): \[\sin(\theta_2) = \frac{1}{1.33} = 0.7519.\]

Чтобы найти угол \(\theta_2\), возьмем арксинус от 0.7519: \(\theta_2 \approx 49.54^\circ\). Теперь мы знаем угол преломления воды.

Следующий шаг - найти угол отражения. Угол отражения \(\theta_3\) равен углу падения \(\theta_1\), то есть \(\theta_3 = \theta_1 = 90^\circ\).

Таким образом, можно утверждать, что вода в аквариуме действует как зеркало. Она отражает световой луч обратно в воду.

Мы можем рассмотреть треугольник ABC, где A - светильник, B - изображение светильника в аквариуме, C - точка воды на поверхности аквариума. Тогда у нас есть прямой угол BAC, угол \(x\) между AC и BC, и толщина слоя воды BC равна 20 см.

Используя тригонометрический закон синусов в треугольнике ABC, можем записать:
\(\frac{20}{\sin(\theta_2)} = \frac{AB}{\sin(90^\circ)}.\)

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), оставляем только \(AB\):
\(AB = 20 \cdot \sin(\theta_2).\)

Подставим значение \(\sin(\theta_2)\) и решим уравнение:
\(AB = 20 \cdot 0.7519 \approx 15.04\) см.

Таким образом, расстояние между источником света и его изображением в аквариуме составляет примерно 15.04 см.