Какое расстояние между параболой y=x² и прямой x-y-2=0 является наименьшим?

Артемович

50

Хорошо! Для решения этой задачи мы будем использовать метод наименьших квадратов. Для начала, давайте составим уравнение параболы и прямой:

Парабола имеет уравнение \(y = x^2\).

Прямая имеет уравнение \(x - y - 2 = 0\).

Теперь давайте найдем расстояние между этими двумя кривыми. Мы будем искать такую точку на параболе, через которую можно провести перпендикулярную прямую, чтобы он пересекал прямую, заданную уравнением.

Чтобы найти эту точку, заменим \(y\) в уравнении прямой уравнением параболы:

\[x - (x^2) - 2 = 0\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(x\). После выполнения необходимых вычислений и упрощений, получим квадратное уравнение:

\[x^2 - x - 2 = 0\]

Решая это уравнение, мы найдем значения \(x\), а затем найдем соответствующие значения \(y\) через уравнение параболы \(y = x^2\).

\[x^2 - x - 2 = 0\]

Решим это уравнение с помощью квадратного уравнения или других методов для нахождения корней. Найдем два значения \(x\): \(x_1\) и \(x_2\).

\[x_1 \approx -1.56155\]
\[x_2 \approx 2.56155\]

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\) через уравнение параболы \(y = x^2\).

\[y_1 \approx (-1.56155)^2 \approx 2.43844\]
\[y_2 \approx (2.56155)^2 \approx 6.56156\]

Теперь у нас есть две точки: \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Чтобы найти расстояние между этими двумя точками, можно использовать формулу расстояния между двумя точками в двумерной системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим значения и выполним вычисления:

\[d = \sqrt{(2.56155 - (-1.56155))^2 + (6.56156 - 2.43844)^2}\]

\[d \approx 4.58068\]

Таким образом, расстояние между параболой \(y = x^2\) и прямой \(x - y - 2 = 0\) является наименьшим и приблизительно равно \(4.58068\).