Какое расстояние между вершинами C и D в равноканальных прямоугольных треугольниках ABC (с прямым углом B) и

Vulkan

20

Для начала давайте нарисуем эти два треугольника ABC и ABD, чтобы было проще понять задачу.

     A

     |\

     | \

  AB |  \ AC

     |   \

     |    \

     B---- C



     A

     |\

  AD | \

     |  \

     |   \

     |    \

     D---- B

Мы знаем, что треугольники ABC и ABD - это равноканальные прямоугольные треугольники, поэтому имеют прямые углы. Мы также знаем, что AB = 4 см и AD = BC.

Вопрос заключается в том, каково расстояние между вершинами C и D.

Для решения этой задачи будем использовать теоремы Пифагора и косинусов. Давайте рассмотрим треугольник ABC.

Мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Мы знаем, что AB = 4 см и AD = BC, поэтому мы можем заменить BC на AD в уравнении:

\[4^2 = AC^2 + AD^2\]

\[16 = AC^2 + AD^2 \quad (1)\]

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы можем снова применить теорему Пифагора:

\[AD^2 = AB^2 + BD^2\]

Мы уже знаем, что AB = 4 см, поэтому мы можем заменить AB на 4 в уравнении:

\[AD^2 = 4^2 + BD^2\]

\[AD^2 = 16 + BD^2 \quad (2)\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений (1) и (2) методом исключения.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1), чтобы убрать AD^2:

\[AC^2 - BD^2 = 0\]

Мы также знаем, что AD = BC, поэтому мы можем заменить AD на BC:

\[AC^2 - BC^2 = 0\]

Теперь факторизуем эту разность квадратов:

\[(AC + BC)(AC - BC) = 0\]

Нам нужно найти значение AC - BC, поэтому предположим, что AC + BC = 0:

\[AC = -BC\]

У нас также есть другая информация, что AB = 4 см, поэтому мы можем выразить AC через AB:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}\]

\[AC = \sqrt{4^2 - BC^2} = \sqrt{16 - BC^2}\]

Теперь мы можем заменить AC в уравнении AC = -BC:

\[\sqrt{16 - BC^2} = -BC\]

Теперь возвожу оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[16 - BC^2 = BC^2\]

\[16 = 2BC^2\]

\[BC^2 = 8\]

\[BC = \sqrt{8}\]

Мы также знаем, что AD = BC, поэтому:

\[AD = \sqrt{8}\]

Теперь у нас есть значения AD и AC. Мы хотим найти расстояние между вершинами C и D. Это равно BC, поэтому:
\[BC = \sqrt{8}\]

Получается, что расстояние между вершинами C и D в равноканальных прямоугольных треугольниках ABC и ABD равно \(\sqrt{8}\) см.