Какое расстояние от вершины a до плоскости: а) bdd1? б) bee1? в) bff1? г) bcc1? д) cdd1? е) cee1? ж) cff1?

Zabludshiy_Astronavt

46

Для решения задачи нам необходимо вычислить расстояние от точки (вершины) до плоскости. Для этого нам понадобятся формулы и методы, которые позволяют выполнить данное вычисление.

Давайте рассмотрим решение для каждой задачи по очереди:

а) Расстояние от точки a до плоскости bdd1:

Для вычисления расстояния d используем формулу:

\[ d = \frac{{\left| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D \right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} \]

где A, B и C - это коэффициенты уравнения плоскости, а x0, y0 и z0 - координаты вершины a.

Подставляя данные из условия, получаем:

\[ A = 1, B = -3, C = 2, D = 4, x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = -3 \]

\[ d = \frac{{\left| 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) + 4 \right|}}{{\sqrt{{1^2 + (-3)^2 + 2^2}}}} \]

\[ d = \frac{{\left| 1 - 6 - 6 + 4 \right|}}{{\sqrt{{1 + 9 + 4}}}} \]

\[ d = \frac{{\left| -7 \right|}}{{\sqrt{{14}}}} \]

\[ d = \frac{{7}}{{\sqrt{{14}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости будет равно \(\frac{{7}}{{\sqrt{{14}}}}\).

б) Расстояние от точки a до плоскости bee1:

Проделываем аналогичные действия:

\[ A = 1, B = 3, C = 1, D = 2, x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = -3 \]

\[ d = \frac{{\left| 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) + 2 \right|}}{{\sqrt{{1^2 + 3^2 + 1^2}}}} = \frac{{16}}{{\sqrt{{11}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости: \(\frac{{16}}{{\sqrt{{11}}}}\).

в) Расстояние от точки a до плоскости bff1:

\[ A = -1, B = -1, C = 1, D = -1, x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = -3 \]

\[ d = \frac{{\left| -1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) - 1 \right|}}{{\sqrt{{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}}}} = \frac{{12}}{{\sqrt{{3}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости: \(\frac{{12}}{{\sqrt{{3}}}}\).

г) Расстояние от точки a до плоскости bcc1:

\[ A = -1, B = -3, C = 2, D = -4, x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = -3 \]

\[ d = \frac{{\left| -1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 4 \right|}}{{\sqrt{{(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2}}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{{14}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости: \(\frac{{2}}{{\sqrt{{14}}}}\).

д) Расстояние от точки a до плоскости cdd1:

\[ A = 1, B = -3, C = 2, D = -4, x_0 = 3, y_0 = -1, z_0 = 1 \]

\[ d = \frac{{\left| 1 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 - 4 \right|}}{{\sqrt{{1^2 + (-3)^2 + 2^2}}}} = \frac{{6}}{{\sqrt{{14}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости: \(\frac{{6}}{{\sqrt{{14}}}}\).

е) Расстояние от точки a до плоскости cee1:

\[ A = 1, B = 3, C = 1, D = -2, x_0 = 3, y_0 = -1, z_0 = 1 \]

\[ d = \frac{{\left| 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 - 2 \right|}}{{\sqrt{{1^2 + 3^2 + 1^2}}}} = \frac{{4}}{{\sqrt{{11}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости: \(\frac{{4}}{{\sqrt{{11}}}}\).

ж) Расстояние от точки a до плоскости cff1:

\[ A = -1, B = -1, C = 1, D = 1, x_0 = 3, y_0 = -1, z_0 = 1 \]

\[ d = \frac{{\left| -1 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \right|}}{{\sqrt{{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{{3}}}} \]

Уравнение расстояния от точки до плоскости: \(\frac{{1}}{{\sqrt{{3}}}}\).

Таким образом, мы вычислили расстояние от вершины a до каждой из плоскостей bdd1, bee1, bff1, bcc1, cdd1, cee1 и cff1. Надеюсь, все расчеты были понятными и полезными для вас!