Какое расстояние путешественники прошли пешком и на плоту, если они двигались со скоростью 5 км/ч и 2 км/ч

Zvezdopad_Feya

3

Давайте решим данную задачу. Пусть $x$ - расстояние, которое путешественник прошел пешком, а $y$ - расстояние, которое он прошел на плоту. Также, нам даны скорости движения пешком и на плоту: 5 км/ч и 2 км/ч соответственно. Из условия задачи известно, что на всем пути путешественнику ушло 7 часов.

По формуле $v=\frac{s}{t}$, где $v$ - скорость, $s$ - расстояние и $t$ - время, можно записать две формулы:

1) Для пешехода: $5=\frac{x}{t_1}$, где $t_1$ - время, которое путешественник провел, идя пешком.
2) Для плота: $2=\frac{y}{t_2}$, где $t_2$ - время, которое путешественник провел, плывя на плоту.

Также, из условия задачи известно, что общее время путешествия составляет 7 часов: $t_1+t_2=7$.

Теперь, мы можем получить значения времени, проведенных путешественником пешком и на плоту, используя систему двух уравнений:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 5t_1& =x\text{(2)}& 2t_2& =y\text{(3)}& t_1+t_2& =7\end{array}$$

Давайте решим эту систему методом сложения уравнений. Домножим уравнение (1) на 2 и сложим его с уравнением (2):

$$\begin{array}{}\text{(4)}& 10t_1+2t_2=2x+y\end{array}$$

Теперь сложим уравнение (4) с уравнением (3):

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 10t_1+2t_2+t_1+t_2=2x+y+7\end{array}$$

Упростим уравнение (5):

$$11t_1+3t_2=2x+y+7$$

Теперь заметим, что выражение справа равно расстоянию, которое путешественник прошел пешком и на плоту: $2x+y=x+y+y=x+2y$.
Таким образом, уравнение (5) можно переписать в виде:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& 11t_1+3t_2=x+2y+7\end{array}$$

Теперь добавим уравнение (3) к уравнению (6):

$$\begin{array}{}\text{(7)}& 11t_1+3t_2+t_1+t_2=x+2y+7\end{array}$$

Упростим уравнение (7):

$$12t_1+4t_2=x+2y+7$$

Но мы также знаем, что $x+2y$ равно расстоянию, которое путешественник прошел пешком и на плоту: $x+2y=5t_1+2t_2$.
Таким образом, уравнение (7) можно переписать в виде:

$$\begin{array}{}\text{(8)}& 12t_1+4t_2=5t_1+2t_2+7\end{array}$$

Теперь, продолжим решение добавлением уравнения (4) к уравнению (8):

$$\begin{array}{}\text{(9)}& 10t_1+2t_2+12t_1+4t_2=2x+y+5t_1+2t_2+7\end{array}$$

Упростим уравнение (9):

$$22t_1+6t_2=2x+y+5t_1+2t_2+7$$

Вспомним, что $2x+y$ равно расстоянию, которое путешественник прошел пешком и на плоту: $2x+y=5t_1+2t_2$.
Таким образом, уравнение (9) можно переписать в виде:

$$\begin{array}{}\text{(10)}& 22t_1+6t_2=5t_1+2t_2+5t_1+2t_2+7\end{array}$$

Упростим уравнение (10):

$$22t_1+6t_2=12t_1+4t_2+7$$

Теперь выразим одну переменную через другую. Вычтем из обоих частей уравнения слева $12t_1+4t_2$:

$$22t_1-12t_1+6t_2-4t_2=7$$

Упростим уравнение:

$$\begin{array}{}\text{(11)}& 10t_1+2t_2=7\end{array}$$

Из уравнения (11) видно, что $10t_1+2t_2=7$ и $t_1+t_2=7$ равны между собой. Таким образом, мы можем заменить $t_1+t_2$ в уравнении (11) на 7:

$$7=7$$