Какое расстояние путешественники прошли пешком и на плоту, если они двигались со скоростью 5 км/ч и 2 км/ч

Zvezdopad_Feya

3

Давайте решим данную задачу. Пусть \(x\) - расстояние, которое путешественник прошел пешком, а \(y\) - расстояние, которое он прошел на плоту. Также, нам даны скорости движения пешком и на плоту: 5 км/ч и 2 км/ч соответственно. Из условия задачи известно, что на всем пути путешественнику ушло 7 часов.

По формуле \(v = \frac{{s}}{{t}}\), где \(v\) - скорость, \(s\) - расстояние и \(t\) - время, можно записать две формулы:

1) Для пешехода: \(5 = \frac{{x}}{{t_1}}\), где \(t_1\) - время, которое путешественник провел, идя пешком.
2) Для плота: \(2 = \frac{{y}}{{t_2}}\), где \(t_2\) - время, которое путешественник провел, плывя на плоту.

Также, из условия задачи известно, что общее время путешествия составляет 7 часов: \(t_1 + t_2 = 7\).

Теперь, мы можем получить значения времени, проведенных путешественником пешком и на плоту, используя систему двух уравнений:

\[
\begin{align*}
5t_1 &= x \tag{1} \\
2t_2 &= y \tag{2} \\
t_1 + t_2 &= 7 \tag{3}
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему методом сложения уравнений. Домножим уравнение (1) на 2 и сложим его с уравнением (2):

\[
10t_1 + 2t_2 = 2x + y \tag{4}
\]

Теперь сложим уравнение (4) с уравнением (3):

\[
10t_1 + 2t_2 + t_1 + t_2 = 2x + y + 7 \tag{5}
\]

Упростим уравнение (5):

\[
11t_1 + 3t_2 = 2x + y + 7
\]

Теперь заметим, что выражение справа равно расстоянию, которое путешественник прошел пешком и на плоту: \(2x + y = x + y + y = x + 2y\).
Таким образом, уравнение (5) можно переписать в виде:

\[
11t_1 + 3t_2 = x + 2y + 7 \tag{6}
\]

Теперь добавим уравнение (3) к уравнению (6):

\[
11t_1 + 3t_2 + t_1 + t_2 = x + 2y + 7 \tag{7}
\]

Упростим уравнение (7):

\[
12t_1 + 4t_2 = x + 2y + 7
\]

Но мы также знаем, что \(x + 2y\) равно расстоянию, которое путешественник прошел пешком и на плоту: \(x + 2y = 5t_1 + 2t_2\).
Таким образом, уравнение (7) можно переписать в виде:

\[
12t_1 + 4t_2 = 5t_1 + 2t_2 + 7 \tag{8}
\]

Теперь, продолжим решение добавлением уравнения (4) к уравнению (8):

\[
10t_1 + 2t_2 + 12t_1 + 4t_2 = 2x + y + 5t_1 + 2t_2 + 7 \tag{9}
\]

Упростим уравнение (9):

\[
22t_1 + 6t_2 = 2x + y + 5t_1 + 2t_2 + 7
\]

Вспомним, что \(2x + y\) равно расстоянию, которое путешественник прошел пешком и на плоту: \(2x + y = 5t_1 + 2t_2\).
Таким образом, уравнение (9) можно переписать в виде:

\[
22t_1 + 6t_2 = 5t_1 + 2t_2 + 5t_1 + 2t_2 + 7 \tag{10}
\]

Упростим уравнение (10):

\[
22t_1 + 6t_2 = 12t_1 + 4t_2 + 7
\]

Теперь выразим одну переменную через другую. Вычтем из обоих частей уравнения слева \(12t_1 + 4t_2\):

\[
22t_1 - 12t_1 + 6t_2 - 4t_2 = 7
\]

Упростим уравнение:

\[
10t_1 + 2t_2 = 7 \tag{11}
\]

Из уравнения (11) видно, что \(10t_1 + 2t_2 = 7\) и \(t_1 + t_2 = 7\) равны между собой. Таким образом, мы можем заменить \(t_1 + t_2\) в уравнении (11) на 7:

\[
7 = 7
\]