Какое сечение будет иметь пирамида DABC, если через точку O проведена плоскость, параллельная прямым AC и DB? Какова

Solnechnyy_Briz_431

41

Чтобы решить задачу о сечении пирамиды DABC, проведём параллельную прямым AC и DB плоскость через точку O. Это позволит нам получить сечение, которое будет параллельно основанию пирамиды.

Из условия задачи нам известно, что АО: ОВ = 2:1 и AC = 15. Пусть АО = 2х, тогда ОВ = х. Таким образом, мы можем найти значения АО и ОВ: АО = 2х = 2 * 15 = 30 и ОВ = х = 15.

Теперь, чтобы найти сечение пирамиды, вычислим координаты точек сечения на прямых AC и DB. Пусть точка сечения на прямой AC будет M, а на прямой DB - N.

Сначала найдём координаты точки M. Для этого воспользуемся подобием треугольников. Так как АО:ОВ = 2:1, то \(\frac{AM}{MC} = \frac{AO}{OC} = \frac{2}{1}\). Также известно, что AC = 15.

Пусть MC = х, тогда AM = 2х. Таким образом, у нас есть следующее уравнение: \(\frac{2х}{х} = \frac{AC}{OC}\) или \(\frac{2х}{х} = \frac{15}{OC}\).

Выразим OC через х: \(\frac{2х}{х} = \frac{15}{OC}\). Умножим обе части уравнения на OC: 2х = \(\frac{15·OC}{OC}\), следовательно, 2х = 15 и OC = \(\frac{15}{2} = 7.5\).

Таким образом, координаты точки M будут \(M(7.5, 0)\).

Теперь найдём координаты точки N. Поскольку плоскость параллельна прямым AC и DB, то точка N находится на той же самой высоте прямой DB, что и точка M.

То есть, координата точки N по оси X будет равна 7.5 (так же, как и у точки M), поскольку M и N находятся на одной прямой параллельной основанию.

Таким образом, координаты точки N будут \(N(7.5, y)\), где y - неизвестная координата по оси Y.

Теперь нам осталось найти только координату y, используя факт, что AC = DB. Нам уже известно, что точка N должна находиться на прямой DB, а значит, перпендикулярно ей.

Мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти координату y. Используя подобие треугольников DAB и DNC, получаем следующее условие: \(\frac{AB}{DB} = \frac{AN}{DN}\).

По условию, DB уже известно и AC = DB. Таким образом, мы имеем \(\frac{15}{15} = \frac{7.5}{DN}\). Решая это уравнение, получаем DN = 7.5.

Теперь мы знаем, что y-координата точки N будет равна 7.5.

Итак, сечение пирамиды DABC параллельной плоскостью имеет точки M(7.5, 0) и N(7.5, 7.5).

Найдём теперь площадь этого сечения. Сечение пирамиды представляет собой прямоугольник со сторонами, которые проходят через точки M и N и параллельны оси X и оси Y соответственно.

Длина прямоугольника будет равна расстоянию между координатами X точек M и N, то есть \(7.5 - 7.5 = 0\), а ширина равна y-координате точки N, то есть 7.5.

Таким образом, площадь сечения пирамиды равна \(0 * 7.5 = 0\).

Ответ: Сечение пирамиды DABC, проведенное параллельной плоскостью через точку O, представляет собой прямоугольник с площадью 0.