1. solvetop.com
  2. Геометрия
  3. Какое скалярное произведение...

Какое скалярное произведение получится у векторов а и b в случае, если их сумма умножается на их разность?

  • 42
Какое скалярное произведение получится у векторов а и b в случае, если их сумма умножается на их разность?

Рекомендуется сохранять верные ответы и всегда делиться с друзьями, ведь они могут тебе ещё пригодиться!

Telegram Whatsapp ВКонтакте
Заяц
18
Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов a и b, обозначается как \(a \cdot b\) или \(\\), и определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Математическая формула для скалярного произведения выглядит следующим образом:

\[a \cdot b = \|a\|\cdot\|b\|\cdot\cos(\theta)\]

где \(\|a\|\) - длина вектора a, \(\|b\|\) - длина вектора b, и \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Теперь, посмотрим на задачу: скалярное произведение получится у векторов а и b в случае, если их сумма умножается на их разность. Давайте обозначим вектор a как \(\vec{a}\) и вектор b как \(\vec{b}\). Используя данное условие, получаем:

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})\]

Теперь, чтобы упростить это выражение, раскроем скобки, используя формулу для раскрытия скобок:

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{a}) - (\vec{b} \cdot \vec{b})\]

Заметим, что скалярное произведение коммутативно, то есть \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\). Поэтому можно записать:

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{b} \cdot \vec{b})\]

Теперь заметим, что \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) - это скалярное произведение вектора с самим собой, поэтому оно равно квадрату длины вектора \(\vec{a}\), то есть \((\|\vec{a}\|)^2\). Аналогично, \(\vec{b} \cdot \vec{b} = (\|\vec{b}\|)^2\). Подставим эти значения:

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (\|\vec{a}\|)^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\|\vec{b}\|)^2\]

Теперь заметим, что \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) и \(\vec{b} \cdot \vec{a}\) - это одно и то же значение, поэтому можно записать:

\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (\|\vec{a}\|)^2 - (\|\vec{b}\|)^2\]

Итак, ответ на данную задачу: скалярное произведение получится равным \((\|\vec{a}\|)^2 - (\|\vec{b}\|)^2\).

Данный ответ является обоснованным, так как мы использовали определение скалярного произведения векторов и математические свойства этой операции для упрощения и получения окончательного выражения.