Какое угловое ускорение у колеса, когда оно делает пятый оборот после начала движения, если радиус колеса равен

Magicheskiy_Zamok

23

Для решения этой задачи нам потребуются некоторые физические формулы, связанные с вращательным движением. Перед тем как приступить к решению, давайте определим некоторые понятия.

Угловое ускорение (\(\alpha\)) - это мера изменения угловой скорости объекта, т.е. скорости его вращения относительно оси. Оно определяется как изменение угловой скорости (\(\omega\)) объекта за единицу времени. Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду в квадрате.

Тангенциальное ускорение (\(a_t\)) - это ускорение, направленное по касательной к траектории движения. Оно связано с линейной скоростью (\(v\)) и радиусом кривизны (\(r\)) следующей формулой:

\[ a_t = \frac{{v^2}}{{r}} \]

Нормальное ускорение (\(a_n\)) - это ускорение, направленное перпендикулярно к касательной. Для вращательного движения, нормальное ускорение равно \(a_n = \alpha \cdot r\).

Полное ускорение (\(a\)) - это векторная сумма тангенциального и нормального ускорений:

\[ a = \sqrt{{a_t^2 + a_n^2}} \]

Теперь, когда мы определили все необходимые понятия, можно приступить к решению задачи.

Шаг 1: Найдем угловую скорость (\(\omega\)) колеса. Для этого воспользуемся формулой \(v = \omega \cdot r\), где \(v\) - линейная скорость точек обода, \(r\) - радиус колеса.

\(\omega = \frac{{v}}{{r}} = \frac{{0.1}}{{0.1}} = 1 \, \text{рад/с}\)

Шаг 2: Найдем угловое ускорение (\(\alpha\)) колеса. Для этого воспользуемся формулой \(\alpha = \frac{{\Delta \omega}}{{\Delta t}}\), где \(\Delta \omega\) - изменение угловой скорости, \(\Delta t\) - изменение времени.

Поскольку колесо делает 5 оборотов, то количество радианов, которые оно пройдет, будет равно \(2\pi \cdot 5 = 10\pi \, \text{рад}\).

Теперь рассмотрим изменение времени (\(\Delta t\)). Если скорость колеса постоянна, значит, и линейная скорость точек колеса также постоянна. Из формулы \(v = \omega \cdot r\) очевидно, что линейная скорость пропорциональна угловой скорости. Следовательно, времени для 5-го оборота будет столько же, сколько и для первого оборота.

Таким образом, \(\Delta t\) равно времени, затраченному колесом на первый оборот, т.е. \(\frac{{2\pi \cdot 1}}{{\omega}} = \frac{{2\pi}}{{1}} = 2\pi \, \text{сек}\).

Теперь мы можем найти угловое ускорение:

\(\alpha = \frac{{\Delta \omega}}{{\Delta t}} = \frac{{10\pi - 0}}{{2\pi}} = 5 \, \text{рад/с}^2\)

Шаг 3: Найдем тангенциальное ускорение (\(a_t\)), нормальное ускорение (\(a_n\)) и полное ускорение (\(a\)) для точек обода через 20 с после начала движения.

Период оборота колеса равен \(T = \frac{{2\pi}}{{\omega}} = \frac{{2\pi}}{{1}} = 2\pi \, \text{сек}\).

Для точки, находящейся на ободе колеса, прошедшей \(t\) секунд времени после начала движения, можно записать следующие формулы:

\[ a_t = \frac{{v^2}}{{r}} = \frac{{(\omega \cdot r)^2}}{{r}} = \omega^2 \cdot r = 1^2 \cdot 0.1 = 0.1 \, \text{м/с}^2 \]

\[ a_n = \alpha \cdot r = 5 \cdot 0.1 = 0.5 \, \text{м/с}^2 \]

\[ a = \sqrt{{a_t^2 + a_n^2}} = \sqrt{{0.1^2 + 0.5^2}} = \sqrt{{0.01 + 0.25}} = \sqrt{{0.26}} \approx 0.51 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, через 20 с после начала движения тангенциальное ускорение точек обода равно 0.1 м/с\(^2\), нормальное ускорение равно 0.5 м/с\(^2\), а полное ускорение составляет около 0.51 м/с\(^2\).