Какое уравнение будет у касательной параллельной прямой y=-2x+1 к графику функции f(x)=x^3+3x^2+x+7?

Золотой_Рай

1

Хорошо, чтобы найти уравнение касательной прямой, параллельной прямой y=-2x+1, к графику функции f(x)=x^3+3x^2+x+7, мы должны использовать некоторые свойства дифференцирования функций.

Для начала, нам нужно найти производную функции f(x). Производная функции показывает скорость изменения этой функции в каждой точке.

Производная функции f(x) равна:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3+3x^2+x+7)\]

Чтобы вычислить производную, мы применим правила дифференцирования для каждого члена этой функции. Получим:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(7)\]

Теперь найдём производные каждого члена функции:

\[f"(x) = 3x^2 + 6x + 1\]

Теперь нам нужно найти значение аргумента x, для которого касательная прямая будет параллельна прямой y=-2x+1. Для этого мы знаем, что наклон (или угловой коэффициент) прямой является производной функции. В нашем случае производная f"(x)=3x^2+6x+1, а для параллельной прямой она должна быть такой же: -2.

Установим производную равной -2 и решим уравнение:

\[3x^2+6x+1 = -2\]

Получим квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду и решим его используя квадратное уравнение:

\[3x^2+6x+1 + 2 = 0\]
\[3x^2+6x+3 = 0\]

Решение этого уравнения даст нам значение x, которое является аргументом функции, в точке, где касательная параллельна данной прямой. Теперь мы можем решить это уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}\]

\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-36}}{6}\]

\[x = \frac{-6}{6} = -1\]

У нас есть значение x, которое равно -1. Теперь давайте найдем значение y, подставив x=-1 в функцию f(x):

\[f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2+(-1)+7\]
\[f(-1)=-1+3+(-1)+7\]
\[f(-1)=8\]

Таким образом, у нас есть точка (-1, 8) на графике функции f(x). Теперь мы можем использовать это значение и наклон -2, чтобы составить уравнение касательной прямой.

Уравнение касательной прямой будет иметь вид y = mx + c, где m - наклон, а c - точка пересечения с y-осью. Заменив m на -2 и используя точку (-1, 8), мы получим:

\[y = -2x + c\]
\[8 = -2 \cdot (-1) + c\]

Решим это уравнение для определения значения c:

\[8 = 2 + c\]
\[c = 6\]

Таким образом, уравнение касательной прямой будет:

\[y = -2x + 6\]

Это - искомое уравнение касательной прямой, параллельной данной прямой y = -2x + 1 к графику функции f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7.