Какое уравнение эллипса будет, если сумма длин полуосей составляет 25, а фокусы находятся в точках (-5;0) и (5;0)?

Собака_8816

17

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые знания о геометрии эллипсов и их свойствах.

Эллипс - это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна. В данном случае, заданные фокусы находятся в точках (-5;0) и (5;0).

Для определения уравнения эллипса, нам необходимо найти полуоси эллипса. Длина полуосей обозначается символами a и b. Сумма длин полуосей задана условием и составляет 25. Из данной информации следует, что a + b = 25.

Также, из свойств эллипса, мы знаем, что расстояние от центра эллипса до каждого из фокусов равно половине длины большей полуоси. В данной задаче, по условию, фокусы находятся на оси x, поэтому расстояние от центра эллипса до каждого фокуса равно 5.

Теперь мы можем решить систему уравнений, используя полученные данные:

Система уравнений:
a + b = 25
2a = 10 (расстояние от центра до фокуса)

Решение:
Из второго уравнения мы можем найти значение a:
2a = 10
a = 5

Подставляя полученное значение a в первое уравнение, мы можем найти значение b:
5 + b = 25
b = 20

Таким образом, получаем, что длина большей полуоси a равна 5, а длина меньшей полуоси b равна 20.

Теперь мы можем записать уравнение эллипса, используя найденные значения полуосей. Уравнение эллипса имеет следующий вид:
\[\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\]

Подставляя значения a = 5 и b = 20, получаем окончательное уравнение эллипса:
\[\frac{{x^2}}{{5^2}} + \frac{{y^2}}{{20^2}} = 1\]

Таким образом, уравнение эллипса, описывающее данную ситуацию, будет:
\[\frac{{x^2}}{{25}} + \frac{{y^2}}{{400}} = 1\]