Какой годовой прирост производства в процентах должен быть, если предприятие должно увеличить объем производства

Морж

17

Для решения этой задачи нам нужно найти годовой прирост производства в процентах, который позволит предприятию увеличить объем производства в четыре раза за два года при одинаковом приросте для каждого года.

Пусть текущий объем производства предприятия равен \(x\). За первый год производство увеличивается на \(p\%\), где \(p\) представляет годовой прирост производства в процентах. Тогда после первого года производство составит \(x + xp\% = x(1 + \frac{p}{100})\).

После второго года производство должно увеличиться в четыре раза, то есть стать равным \((x(1 + \frac{p}{100}))(1 + \frac{p}{100}) = x(1 + \frac{p}{100})^2\).

Учитывая условие задачи, уравнение, которое описывает это, будет следующим:
\[x(1 + \frac{p}{100})^2 = 4x\]

Для решения этого уравнения найдем значение \(p\).

Разделим обе стороны уравнения на \(x\) и раскроем скобки:
\[(1 + \frac{p}{100})^2 = 4\]
\[1 + \frac{2p}{100} + \frac{p^2}{100^2} = 4\]
\[\frac{p^2}{100^2} + \frac{2p}{100} - 3 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Домножим обе стороны на \(100^2\):
\[p^2 + 200p - 30000 = 0\]

Мы можем решить это уравнение с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 200\) и \(c = -30000\).

Выполним вычисления:
\[D = 200^2 - 4(1)(-30000) = 40000 + 120000 = 160000\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас есть два корня \(p_1\) и \(p_2\) для этого уравнения.

Используем формулу для нахождения корней:
\[p_1, p_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[p_1, p_2 = \frac{-200 \pm \sqrt{160000}}{2}\]
\[p_1, p_2 = \frac{-200 \pm 400}{2}\]
\[p_1 = \frac{-200 + 400}{2} = 100\]
\[p_2 = \frac{-200 - 400}{2} = -300\]

Мы получили два возможных значения для \(p\): 100 и -300. Отрицательное значение не имеет физического смысла в данной задаче, поэтому выберем положительное значение \(p = 100\).

Таким образом, годовой прирост производства должен быть 100%. Ответ на задачу: а) 100%.