Какое уравнение можно составить для плоскости, проходящей через ось Оу и находящейся на одинаковом расстоянии от точек

Як

33

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через ось Oу и находящейся на одинаковом расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(–1; 4; 6), мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Найдем координаты произвольной точки на плоскости (x, y, z).

Поскольку плоскость проходит через ось Oу, координаты точки на плоскости будут (0, y, 0), где y - произвольное число.

Шаг 2: Найдем расстояние от точки (x, y, z) до точки М(2; 7; 3) и от точки (x, y, z) до точки N(–1; 4; 6).

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно вычислить с помощью формулы:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

Расстояние от произвольной точки (x, y, z) до точки М(2; 7; 3) будет:

\(d_1 = \sqrt{{(x - 2)^2 + (y - 7)^2 + (z - 3)^2}}\).

Расстояние от произвольной точки (x, y, z) до точки N(–1; 4; 6) будет:

\(d_2 = \sqrt{{(x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2}}\).

Шаг 3: Составим уравнение плоскости, используя полученные расстояния.

У нас есть условие, что плоскость должна находиться на одинаковом расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(–1; 4; 6). Это означает, что:

\(d_1 = d_2\),

то есть:

\(\sqrt{{(x - 2)^2 + (y - 7)^2 + (z - 3)^2}} = \sqrt{{(x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2}}\).

Для удобства решения уравнения избавимся от корней, возведя его в квадрат:

\((x - 2)^2 + (y - 7)^2 + (z - 3)^2 = (x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2\).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 14y + 49 + z^2 - 6z + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 12z + 36\).

Сократим одинаковые члены и перенесем все константы налево:

\(- 6x - 6y + 9z - 64 = 0\).

Итак, полученное уравнение - это уравнение плоскости, которая проходит через ось Oу и находится на одинаковом расстоянии от точек М(2; 7; 3) и N(–1; 4; 6).