Какое уравнение окружности имеет центр в точке С(5,4) и касается данной окружности внешним образом?

Artem

68

Чтобы найти уравнение окружности, которая имеет центр в точке C(5, 4) и касается данной окружности внешним образом, нам нужно использовать известное свойство касательной окружности.

Для начала, давайте вспомним уравнение окружности в общем виде:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\),

где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данной задаче нам известно, что центр окружности находится в точке C(5, 4). Поэтому, мы можем заменить a и b в уравнении окружности:

\((x - 5)^2 + (y - 4)^2 = r^2\).

Теперь нам нужно определить радиус окружности, которая касается данной окружности внешним образом. Для этого мы можем использовать следующий факт: растояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей. Это свойство позволяет нам установить связь между радиусами обеих окружностей.

Предположим, что радиус данной окружности равен \(r_1\), а радиус касающейся окружности равен \(r_2\). Тогда расстояние между центрами окружностей можно найти по формуле:

\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = r_1 + r_2\).

В нашей задаче центр данной окружности находится в точке C(5, 4), а центр касающейся окружности находится на линии, проходящей через центр данной окружности и перпендикулярной ей. Таким образом, мы можем представить центр касающейся окружности в виде (x, y), где y = 4, так как линия будет горизонтальной.

Теперь, подставим координаты центров обоих окружностей в уравнение расстояния:

\(\sqrt{(5 - x)^2 + (4 - y)^2} = r_1 + r_2\).

Теперь, мы можем вернуться к уравнению окружности данной окружности и заменить \(r_1\) на квадратный корень выражения:

\((x - 5)^2 + (y - 4)^2 = \sqrt{(5 - x)^2 + (4 - y)^2} + r_2\).

Это и есть искомое уравнение окружности, которая имеет центр в точке C(5, 4) и касается данной окружности внешним образом. Уравнение выражает связь между координатами точек на окружности и радиусом касающейся окружности \(r_2\).

Описанный метод позволяет решать задачу строго математически и получать точный ответ. Надеюсь, что эта пошаговая процедура помогла вам понять, как найти уравнение окружности в данной задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!