Яким є значення тангенсу гострого кута, якщо синус та косинус цього кута є рівними один одному?

Svetlana

17

Для начала, давайте вспомним определение тангенса. Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Обозначается он как \(\tan\).

В данной задаче говорится, что синус и косинус этого угла равны друг другу. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус угла - отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пусть синус и косинус угла равны \(x\). То есть у нас будет следующее:

\[\sin(\theta) = x\]
\[\cos(\theta) = x\]

Мы знаем, что синус квадрат плюс косинус квадрат равны единице. Применим эту формулу:

\[\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\]

Теперь, подставим значения синуса и косинуса, которые равны \(x\):

\[x^2 + x^2 = 1\]

Складываем два слагаемых:

\[2x^2 = 1\]

Делим обе стороны уравнения на 2:

\[x^2 = \frac{1}{2}\]

Чтобы найти значение \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Так как задача не специфицирует значение угла, возьмем его острый угол, то есть угол между 0 и \(\frac{\pi}{2}\).

Итак, значение тангенса гострого угла синус и косинус которого равны, будет:

\[\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{x}{x} = 1\]

Таким образом, значение тангенса для данного угла равно 1.