Каковы векторы BA и BC данного тупоугольного треугольника abc, если вектор AB задан координатами (-3;0;-4), а вектор

Светлячок

38

Для начала, давайте найдем векторы BA и BC данного треугольника. Вектор BA можно найти, инвертируя координаты вектора AB, а вектор BC можно найти, вычитая координаты вектора AC из координат вектора AB.

\[BA = -AB = -(-3;0;-4) = (3;0;4)\]
\[BC = AC - AB = (-2;2;-6) - (-3;0;-4) = (1;2;-2)\]

Теперь, чтобы найти значения синуса и косинуса угла ABC, нам нужно использовать формулу скалярного произведения векторов и модули векторов.

Сначала найдем скалярное произведение векторов BA и BC:

\[BA \cdot BC = (3;0;4) \cdot (1;2;-2) = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = 3 - 8 = -5\]

Затем найдем модули векторов BA и BC:

\(|BA| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(|BC| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)

Теперь мы можем использовать скалярное произведение и модули векторов для вычисления значения синуса и косинуса угла ABC:

\(\cos(\angle ABC) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{-5}{5 \cdot 3} = \frac{-1}{3}\)

\(\sin(\angle ABC) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ABC)} = \sqrt{1 - \left(\frac{-1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Таким образом, значение синуса угла ABC равно \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\), а значение косинуса угла ABC равно \(\frac{-1}{3}\).

Надеюсь, этот ответ понятен и информативен для школьника.