Какое уравнение описывает плоскость, которая проходит через точку M0(3;4;5) и имеет нормальный вектор n⃗=(-1;-3;2)?

Луна_В_Омуте

62

Чтобы определить уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей заданный нормальный вектор, мы можем использовать следующую формулу:

\[
Ax + By + Cz = D
\]

где \((x, y, z)\) - произвольная точка на плоскости, а \(A, B, C\) и \(D\) - константы, которые мы должны найти.

Нормальный вектор \(\vec{n} = (-1, -3, 2)\) показывает, что вектор \((A, B, C)\) должен быть перпендикулярен этому вектору. То есть, скалярное произведение между \(\vec{n}\) и \((A, B, C)\) должно быть равно нулю:

\[
(-1)(A) + (-3)(B) + (2)(C) = 0
\]

Это даёт нам уравнение:

\[
-A - 3B + 2C = 0 \quad \text{(1)}
\]

Теперь нам нужно знать, что плоскость проходит через точку \(M_0(3, 4, 5)\). Это означает, что значения координат этой точки должны удовлетворять нашему уравнению плоскости:

\[
A(3) + B(4) + C(5) = D
\]

Это дает нам еще одно уравнение:

\[
3A + 4B + 5C = D \quad \text{(2)}
\]

Мы теперь имеем два уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными \(A, B, C\) и \(D\). Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать методы линейной алгебры, например, метод Гаусса или метод Крамера.

Однако, чтобы дать более простое объяснение школьникам, мы можем преобразовать уравнения (1) и (2) таким образом, чтобы получить уравнение плоскости в более простой форме.

Заметим, что оба уравнения имеют \(-A\) и \(-B\) с коэффициентами. Мы можем избавиться от отрицательных коэффициентов, поменяв знаки на оба уравнения:

\[
A + 3B - 2C = 0 \quad \text{(3)}
\]
\[
-3A - 4B - 5C = -D \quad \text{(4)}
\]

Затем мы можем умножить уравнение (3) на 3 и добавить его к уравнению (4):

\[
-3A - 4B - 5C + 3A + 9B - 6C = -D
\]

Произведение и сложение даст нам:

\[
5B - 11C = -D \quad \text{(5)}
\]

Таким образом, мы получили уравнения (1), (2) и (5), которые определяют плоскость, проходящую через точку \(M_0(3, 4, 5)\) и имеющую нормальный вектор \(\vec{n} = (-1, -3, 2)\):

\[
-A - 3B + 2C = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
3A + 4B + 5C = D \quad \text{(2)}
\]
\[
5B - 11C = -D \quad \text{(5)}
\]

Если вы хотите получить уравнение плоскости в более простой форме, вы можете выбрать, например, \(C = 1\). Подставив это значение в уравнения (1) и (2), мы можем найти значения \(A\) и \(B\):

\[
-A - 3B + 2 = 0
\]
\[
3A + 4B + 5 = D
\]

Если вы решите эту систему уравнений, то найдете \(A\) и \(B\). Подставьте их обратно в уравнение (2), чтобы найти \(D\). Это даст вам уравнение плоскости в итоговом виде.